Beweis
Die Funktionen
und
sind nach
Aufgabe
bzw.
Fakt
messbar,
und die Folge
konvergiert
nach Aufgabe
wachsend gegen
. Wir können
den Satz von der monotonen Konvergenz
anwenden und erhalten
-

Für jedes
ist wegen
-

für alle
auch
-

für alle
und damit
-

wobei die Gleichheit rechts darauf beruht, dass Häufungspunkte nicht von endlich vielen Folgengliedern abhängen. Dies ergibt insgesamt die Behauptung.