Intervall/Riemannsche Struktur/Levi-Civita-Zusammenhang/Beispiel

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und sei

$g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine positive differenzierbare Funktion, die wir als eine riemannsche Metrik auf ${}I$ interpretieren, siehe Beispiel. Das einzige Christoffelsymbol für den Levi-Civita-Zusammenhang ist

${}\Gamma ={\frac {1}{2}}g^{-1}g'\,,$

das ist bis auf den Vorfaktor die logarithmische Ableitung von ${}g$. Die vertikale Ableitung ist

${}\nabla _{\partial }\partial ={\frac {g'}{2g}}\partial \,,$

wobei ${}\partial$ die Ableitung auf ${}I$ bezeichnet. Angewendet auf eine stetig differenzierbare Funktion ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ (bzw. das Richtungsfeld ${}f\partial$) ist

${}\nabla _{\partial }(f)=\partial f+f{\frac {g'}{2g}}=f'+f{\frac {g'}{2g}}\,$

nach Fakt.