Invariantenring/Formel von Molien/Fakt/Beweis

Beweis

Der lineare Automorphismus ${}\sigma$ ist nach Fakt diagonalisierbar, da er endliche Ordnung hat. In einer geeigneten Basis besitzt die duale Abbildung ${}{\sigma }^{*}$ die Gestalt

$X_{i}\longmapsto \xi _{i}X_{i}.$

Auf der ${}d$-ten Stufe induziert dies den linearen Automorphismus

$\sigma ^{(d)}\colon K[V]_{d}\longrightarrow K[V]_{d}$

mit ${}X^{\nu }\longmapsto \xi ^{\nu }X^{\nu }$. Die Eigenvektoren von ${}\sigma ^{(d)}$ sind die ${}{\binom {n+d-1}{d}}$ verschiedenen Monome

$X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}$

(es sei ${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}$) mit ${}\nu _{1}+\cdots +\nu _{n}=d$ mit den Eigenwerten ${}\xi _{1}^{\nu _{1}}\cdots \xi _{n}^{\nu _{n}}$. Die Spur von ${}\sigma ^{(d)}$ ist daher

${}\operatorname {Spur} {\left(\sigma ^{(d)}\right)}=\sum _{\vert {\nu }\vert =d}\xi ^{\nu }\,.$

Nach Fakt ergibt sich

${}\dim _{K}{\left(K[V]_{d}^{G}\right)}={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\sigma \in G}\operatorname {Spur} {\left(\sigma ^{(d)}\right)}\,$

mit

${}\operatorname {Spur} {\left(\sigma ^{(d)}\right)}=\sum _{\nu _{1}+\cdots +\nu _{n}=d}\xi _{1}^{\nu _{1}}\cdots \xi _{n}^{\nu _{n}}\,.$

Damit ist unter Verwendung der geometrischen Reihe

${}{\begin{aligned}\Phi _{G}(z)&=\sum _{d=0}^{\infty }{\left({\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\sigma \in G}\operatorname {Spur} {\left(\sigma ^{(d)}\right)}\right)}z^{d}\\&={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{d=0}^{\infty }{\left(\sum _{\sigma \in G}\sum _{\nu _{1}+\cdots +\nu _{n}=d}\xi _{\sigma ,1}^{\nu _{1}}\cdots \xi _{\sigma ,n}^{\nu _{n}}\right)}z^{d}\\&={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\sigma \in G}\sum _{(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})\in \mathbb {N} ^{n}}\xi _{\sigma ,1}^{\nu _{1}}\cdots \xi _{\sigma ,n}^{\nu _{n}}z^{\nu _{1}+\cdots +\nu _{n}}\\&={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\sigma \in G}{\left(\sum _{\nu _{1}=0}^{\infty }\xi _{\sigma ,1}^{\nu _{1}}z^{\nu _{1}}\right)}\cdots {\left(\sum _{\nu _{n}=0}^{\infty }\xi _{\sigma ,n}^{\nu _{n}}z^{\nu _{n}}\right)}\\&={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\sigma \in G}{\frac {1}{{\left(1-z\xi _{\sigma ,1}\right)}\cdots {\left(1-\xi _{\sigma ,n}\right)}}}\\&={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\sigma \in G}{\frac {1}{\det {\left(\operatorname {Id} -z\sigma \right)}}}.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage