Beweis
Der lineare Automorphismus
ist
nach Fakt
diagonalisierbar,
da er
endliche Ordnung
hat. In einer geeigneten Basis besitzt die
duale Abbildung
die Gestalt
-
Auf der
-ten Stufe induziert dies den linearen Automorphismus
-
mit
. Die
Eigenvektoren
von
sind die
verschiedenen Monome
-
(es sei
)
mit
mit den
Eigenwerten
. Die Spur von
ist daher
-

Nach
Fakt
ergibt sich
-
![{\displaystyle {}\dim _{K}{\left(K[V]_{d}^{G}\right)}={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\sigma \in G}\operatorname {Spur} {\left(\sigma ^{(d)}\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b86aa5f226a371cdb65b0da102b8bffeac1c4b24)
mit
-

Damit ist unter Verwendung der
geometrischen Reihe
