Invariantentheorie/Endliche Gruppe/Satz von Noether/Textabschnitt

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Der folgende Satz heißt Satz von Noether.



Satz  

Es sei ein Körper, eine endlich erzeugte kommutative -Algebra, auf der eine endliche Gruppe durch -Algebraautomorphismen operiere.

Dann ist der Invariantenring eine endlich erzeugte -Algebra.

Beweis  

Sei

Nach Fakt ist eine ganze Erweiterung. Zu jedem gibt es daher eine Ganzheitsgleichung

mit . Wir betrachten die von den Koeffizienten erzeugte -Unteralgebra von , also

Dabei ist endlich erzeugt, und sämtliche Ganzheitsgleichungen sind über formulierbar, d.h. nach Fakt, dass auch über ganz ist. Da über endlich erzeugt ist, ist insbesondere über endlich erzeugt, so dass nach Fakt sogar endlich ist. Da noethersch ist, muss nach Fakt auch die -Unteralgebra ein endlicher -Modul sein. Damit ist insgesamt eine endlich erzeugte -Algebra.