Invariantentheorie/Endliche Gruppe/Satz von Noether/Textabschnitt

Der folgende Satz heißt Satz von Noether.

Satz

Es sei $K$ ein Körper, $R$ eine endlich erzeugte kommutative $K$-Algebra, auf der eine endliche Gruppe $G$ durch $K$-Algebraautomorphismen operiere.

Dann ist der Invariantenring $R^G$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra.

Beweis

Es sei

$R=K[f_1,\dots ,f_n].$

Nach Fakt ist  $R^G\subseteq R$  eine ganze Erweiterung. Zu jedem $f_i$ gibt es daher eine Ganzheitsgleichung

$f_i^{n_i}+a_{i,n_i-1}{f}_i^{n_i-1}+\cdots +a_{i,1}{f}_i+a_{i,0}=0$

mit  $a_{i,j}\in R^G$.  Wir betrachten die von den Koeffizienten $a_{i,j}$ erzeugte $K$-Unteralgebra von $R^G$, also

$S:=K[a_{i,j},1\le i\le n,0\le j<n_i]\subseteq R^G.$

Dabei ist $S$ endlich erzeugt, und sämtliche Ganzheitsgleichungen sind über $S$ formulierbar, d.h. nach Fakt, dass $R$ auch über $S$ ganz ist. Da $R$ über $K$ endlich erzeugt ist, ist $R$ insbesondere über $S$ endlich erzeugt, sodass  $S\subseteq R$  nach Fakt sogar endlich ist. Da $S$ noethersch ist, muss nach Fakt auch die $S$-Unteralgebra  $R^G\subseteq R$  ein endlicher $S$-Modul sein. Damit ist insgesamt $R^G$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra.

$◻$