Invariantentheorie/Endliche Gruppe/Satz von Noether/Textabschnitt

Der folgende Satz heißt Satz von Noether.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}R$ eine endlich erzeugte kommutative ${}K$-Algebra, auf der eine endliche Gruppe ${}G$ durch ${}K$-Algebraautomorphismen operiere.

Dann ist der Invariantenring ${}R^{G}$ eine endlich erzeugte ${}K$-Algebra.

Beweis

Es sei

${}R=K[f_{1},\ldots ,f_{n}]\,.$

Nach Fakt ist ${}R^{G}\subseteq R$ eine ganze Erweiterung. Zu jedem ${}f_{i}$ gibt es daher eine Ganzheitsgleichung

${}f_{i}^{n_{i}}+a_{i,n_{i}-1}f_{i}^{n_{i}-1}+\cdots +a_{i,1}f_{i}+a_{i,0}=0\,$

mit ${}a_{i,j}\in R^{G}$. Wir betrachten die von den Koeffizienten ${}a_{i,j}$ erzeugte ${}K$-Unteralgebra von ${}R^{G}$, also

${}S:=K[a_{i,j},\,1\leq i\leq n,\,0\leq j<n_{i}]\subseteq R^{G}\,.$

Dabei ist ${}S$ endlich erzeugt, und sämtliche Ganzheitsgleichungen sind über ${}S$ formulierbar, d.h. nach Fakt, dass ${}R$ auch über ${}S$ ganz ist. Da ${}R$ über ${}K$ endlich erzeugt ist, ist ${}R$ insbesondere über ${}S$ endlich erzeugt, sodass ${}S\subseteq R$ nach Fakt sogar endlich ist. Da ${}S$ noethersch ist, muss nach Fakt auch die ${}S$-Unteralgebra ${}R^{G}\subseteq R$ ein endlicher ${}S$-Modul sein. Damit ist insgesamt ${}R^{G}$ eine endlich erzeugte ${}K$-Algebra.

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