Isometrie/C/Diagonalisierbar/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

Wir führen Induktion über die Dimension von . Im eindimensionalen Fall ist die Aussage klar. Aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra und Fakt besitzt einen Eigenwert und einen Eigenvektor, den wir normieren können. Es sei die zugehörige Eigengerade. Da eine Isometrie vorliegt, ist das orthogonale Komplement nach Fakt ebenfalls -invariant, und die Einschränkung

ist ebenfalls eine Isometrie. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es also von eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren, die zusammen mit dem ersten Eigenvektor eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von bildet.

Zur bewiesenen Aussage