K^4/Beispiel zu Durchschnitt und Summe/Basen/2/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper.

a) Zeige, dass der von

{\begin{pmatrix}5\\3\\-1\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\6\\5\\-3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4\\-2\\-1\\1\end{pmatrix}}

erzeugte Untervektorraum ${}U\subseteq K^{4}$ die Dimension ${}3$ besitzt.

b) Bestimme eine Basis und die Dimension des Lösungsraumes ${}L\subseteq K^{4}$ der linearen Gleichung

{}7x_{1}+5x_{2}+3x_{3}-6x_{4}=0\,.

c) Bestimme eine Basis und die Dimension des Durchschnitts ${}U\cap L$ .

d) Bestätige Fakt in diesem Beispiel.