K^4/Beispiel zu Durchschnitt und Summe/Basen/2/Aufgabe

Sei ${}K$ ein Körper.

a) Zeige, dass der von

${\begin{pmatrix}5\\3\\-1\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\6\\5\\-3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4\\-2\\-1\\1\end{pmatrix}}$

erzeugte Untervektorraum ${}U\subseteq K^{4}$ die Dimension ${}3$ besitzt.

b) Bestimme eine Basis und die Dimension des Lösungsraumes ${}L\subseteq K^{4}$ der linearen Gleichung

${}7x_{1}+5x_{2}+3x_{3}-6x_{4}=0\,.$

c) Bestimme eine Basis und die Dimension des Durchschnitts ${}U\cap L$.

d) Bestätige Fakt

in diesem Beispiel.

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