Kähler-Differentiale/Gleichungen/Extrinsischer Kotangentialraum/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Bemerkung gibt es eine exakte Sequenz

$A^{m}{\stackrel {M}{\longrightarrow }}A^{n}\longrightarrow \Omega _{A{|}K}\longrightarrow 0,$

wobei ${}M$ die transponierte Jacobi-Matrix zu den ${}f_{i}$ ist. Wir tensorieren mit dem Restekörper ${}K$ und erhalten eine exakte Sequenz

$K^{m}{\stackrel {M(P)}{\longrightarrow }}K^{n}\longrightarrow \Omega _{A{|}K}\otimes _{A}K\longrightarrow 0$

von endlichdimensionalen ${}K$-Vektorräumen. Die duale Sequenz dazu ist

$0\longrightarrow {\left(\Omega _{A{|}K}\otimes _{A}K\right)}^{*}\longrightarrow K^{n}{\stackrel {\operatorname {Jac} (P)}{\longrightarrow }}K^{m}$

und ebenfalls exakt. Nach Definition ist aber der Kern der Jacobi-Matrix im Punkt ${}P$ der Tangentialraum an ${}V$ in ${}P$.

Zur bewiesenen Aussage