Zum Inhalt springen

Körper/Lineare Algebra/Einführung/Textabschnitt

Aus Wikiversity


Ein kommutativer Ring heißt Körper, wenn ist und wenn jedes von verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

Ausgeschrieben bedeutet dies:


Eine Menge heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

und zwei verschiedene Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

  1. Axiome der Addition
    1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
    2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
    3. ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
    4. Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
  2. Axiome der Multiplikation
    1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
    2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
    3. ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
    4. Existenz des Inversen: Zu jedem mit gibt es ein Element mit .
  3. Distributivgesetz: Für alle gilt .

Die in Fakt beschriebenen Eigenschaften (und Konventionen) für Ringe gelten insbesondere für Körper. Unter Verwendung des Gruppenbegriffs kann man auch sagen, dass ein Körper eine Menge mit zwei Verknüpfungen und und zwei fixierten Elementen ist, derart, dass und jeweils kommutative Gruppen[1] sind und dass das Distributivgesetz gilt.

Zu einem Element und einer natürlichen Zahl definiert man als die -fache Summe von mit sich selbst. Dabei setzt man . Für

schreibt man auch einfach oder . Man findet also jede natürliche Zahl in jedem Körper (auch in jedem Ring) wieder, allerdings kann es sein, dass diese Zuordnung nicht injektiv ist und beispielsweise oder in einem Körper gilt (siehe die Beispiele weiter unten). Für negative ganze Zahlen setzt man

wobei das Negative von in dem Körper ist. Aufgrund von Aufgabe passt alles zusammen. Z.B. kann man wie eben als die -fache Summe von mit sich selbst verstehen oder als Produkt aus und , letzteres als die -fache Summe von mit sich selbst.

Der Graph zur reellen Funktion, die einer Zahl ihr Inverses zuordnet. Im Nullpunkt ist die Abbildung nicht definiert und auch nicht stetig fortsetzbar.

Das zu , , nach Fakt (hier lohnt sich schon der Gruppenbegriff) eindeutig bestimmte Element mit nennt man das Inverse von und bezeichnet es mit .

Für , , schreibt man auch abkürzend

Die beiden linken Ausdrücke sind also Abkürzungen für den rechten Ausdruck.

Zu einem Körperelement und wird die -Potenz, geschrieben , als das -fache Produkt von mit sich selbst definiert ( gibt die Anzahl der Faktoren an). Man setzt weiterhin , und bei wird für der Ausdruck als interpretiert.

Ein „kurioser“ Körper wird im folgenden Beispiel beschrieben. Dieser Körper mit zwei Elementen ist in der Informatik und der Kodierungstheorie wichtig, wird für uns aber keine große Rolle spielen. Er zeigt, dass es nicht für jeden Körper sinnvoll ist, seine Elemente auf der Zahlengeraden zu verorten.


Wir suchen nach einer Körperstruktur auf der Menge . Wenn das neutrale Element einer Addition und das neutrale Element einer Multiplikation sein soll, so ist dadurch schon alles festgelegt, da sein muss, da ein inverses Element bezüglich der Addition besitzen muss, und da in jedem Körper nach Fakt gelten muss. Die Operationstafeln sehen also wie folgt aus.


und


Durch etwas aufwändiges Nachrechnen stellt man fest, dass es sich in der Tat um einen Körper handelt.



Auf der Menge (mit sieben Elementen) kann man durch die Festlegungen




ebenfalls einen Körper machen. Ohne weitere Theorie ist der Nachweis der Körpereigenschaften sehr aufwändig.




Es sei ein Körper. Aus

folgt oder .

 Nehmen wir an, dass und beide von verschieden sind. Dann gibt es dazu inverse Elemente und und daher ist . Andererseits ist aber nach Voraussetzung und daher ist nach Fakt  (1)

 sodass sich der Widerspruch ergibt.
  1. Das beinhaltet hier insbesondere, dass die Multiplikation sich zu einer Verknüpfung auf einschränken lässt. Aus den Körperaxiomen folgt dies, wie wir gleich sehen werden.