Körpererweiterung/Rein-inseparabel/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}x^{p^{e}}=y\in K$. Dann ist ${}X^{p^{e}}-y=(X-x)^{p^{e}}\in K[X]$ ein Polynom, das ${}x$ annulliert. Dieses Polynom besitzt über ${}K(x)$ die einzige Nullstelle ${}x$, sodass dies auch für das Minimalpolynom von ${}x$ über ${}K$ gilt, und zwar auch in jedem Erweiterungskörper. Also ist ${}x$ rein-inseparabel.
Es sei nun ${}x$ rein-inseparabel mit dem Minimalpolynom ${}F\in K[X]$. Nach Fakt gibt es ein irreduzibles separables Polynom ${}G\in K[X]$ und ein ${}e\in \mathbb {N}$ mit ${}F=G(X^{p^{e}})$. Es sei ${}d$ der Grad von ${}G$. Es sei ${}K\subseteq M$ der Zerfällungskörper von ${}G$ und ${}G=(X-a_{1}){\cdots }(X-a_{d})$ die Faktorzerlegung von ${}G$ über ${}M$. Wegen der Separabilität von ${}G$ sind diese Nullstellen verschieden. Bei ${}d>1$ hätte auch ${}F$ verschiedene Nullstellen (in einem geeigneten Erweiterungskörper $M\subseteq M'$). Also ist ${}d=1$ und somit ist ${}F=X^{p^{e}}-y$ mit einem ${}y\in K$.

Zur bewiesenen Aussage