Körpererweiterung/Rein-inseparabel/Charakterisierung/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei . Dann ist ein Polynom, das annulliert. Dieses Polynom besitzt über die einzige Nullstelle , so dass dies auch für das Minimalpolynom von über gilt, und zwar auch in jedem Erweiterungskörper. Also ist rein-inseparabel.
Sei nun rein-inseparabel mit dem Minimalpolynom . Nach Fakt gibt es ein irreduzibles separables Polynom und ein mit . Sei der Grad von . Es sei der Zerfällungskörper von und die Faktorzerlegung von über . Wegen der Separabilität von sind diese Nullstellen verschieden. Bei hätte auch verschiedene Nullstellen (in einem geeigneten Erweiterungskörper ). Also ist und somit ist mit einem .

Zur bewiesenen Aussage