Körpererweiterung/Separabler Abschluss/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

(1). Für zwei Elemente ist eine nach Fakt über endliche und nach Fakt separable Körpererweiterung. Also ist und ist ein Unterring. Für ist auch , so dass ein Körper vorliegt.
(2) ist klar.
(3). Sei algebraisch über und sei das Minimalpolynom. Die Charakteristik von sei , andernfalls ist die Aussage klar. Nach Fakt besitzt die Gestalt

mit und einem irreduziblen separablen Polynom . Für

ist ein separables annullierendes Polynom, so dass ist. Daher ist nach Fakt rein-inseparabel über ist.
(4) folgt aus (3).

Zur bewiesenen Aussage