Körpererweiterung/Separabler Abschluss/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Für zwei Elemente  ${}x,y\in S$  ist ${}K[x,y]\,\,(\subseteq L)$ eine nach Fakt über ${}K$ endliche und nach Fakt separable Körpererweiterung. Also ist  ${}K[x,y]\subseteq S$  und ${}S$ ist ein Unterring. Für  ${}x\neq 0$  ist auch  ${}x^{-1}\in K[x,y]$,  sodass ein Körper vorliegt.
(2) ist klar.
(3). Es sei  ${}x\in L$  algebraisch über ${}K$ und sei ${}F$ das Minimalpolynom. Die Charakteristik von ${}K$ sei  ${}p>0$,  andernfalls ist die Aussage klar. Nach Fakt besitzt ${}F$ die Gestalt

${}F=G(X^{q})\,$

mit  ${}q=p^{e}$  und einem irreduziblen separablen Polynom  ${}G\in K[X]$.  Für

${}y=x^{q}\,$

ist ${}G$ ein separables annullierendes Polynom, sodass  ${}y\in S$  ist. Daher ist ${}x$ nach Fakt rein-inseparabel über ${}S$ ist.
(4) folgt aus (3).

Zur bewiesenen Aussage