Körpererweiterung/Separabler Abschluss/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis
Beweis
(1). Für zwei Elemente ist eine nach
Fakt
über
endliche
und nach
Fakt
separable Körpererweiterung. Also ist und ist ein Unterring. Für ist auch , so dass ein Körper vorliegt.
(2) ist klar.
(3). Es sei
algebraisch über und sei das
Minimalpolynom.
Die Charakteristik von sei , andernfalls ist die Aussage klar. Nach
Fakt
besitzt die Gestalt
mit und einem irreduziblen separablen Polynom . Für
ist ein separables annullierendes Polynom, so dass ist. Daher ist nach
Fakt
rein-inseparabel über ist.
(4) folgt aus (3).