Kanonischer Ringhomomorphismus/Charakteristik/Einführung/Textabschnitt

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Satz  

Es sei ein Ring.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

Beweis  

Ein Ringhomomorphismus muss die auf die abbilden. Deshalb gibt es nach Fakt genau einen Gruppenhomomorphismus

Wir müssen zeigen, dass diese Abbildung auch die Multiplikation respektiert, d.h. dass . ist, wobei hier die Multiplikation in bezeichnet. Dies folgt aber aus dem allgemeinen Distributivgesetz.


Den in dieser Aussage konstruierten und eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus nennt man auch den kanonischen Ringhomomorphismus (oder den charakteristischen Ringhomomorphismus) von nach .


Definition  

Die Charakteristik eines kommutativen Ringes ist die kleinste positive natürliche Zahl mit der Eigenschaft . Die Charakteristik ist , falls keine solche Zahl existiert.

Die Charakteristik beschreibt genau den Kern des obigen kanonischen (charakteristischen) Ringhomomorphismus.