Kettenregel/R/Kurve und lineare Abbildung/Bemerkung

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall, ${}V$ und ${}W$ seien euklidische Vektorräume und es sei

$f\colon I\longrightarrow V$

eine differenzierbare Kurve. Es sei

$L\colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung. In Fakt wurde gezeigt, dass die zusammengesetzte Abbildung

$L\circ f\colon I\longrightarrow W,\,t\longmapsto L(f(t)),$

(ebenfalls differenzierbar ist) und dass die Beziehung

${}(L\circ f)'(t)=L(f'(t))\,$

besteht. Hier erhält man also den Richtungsvektor der zusammengesetzten Kurve, indem man den Richtungsvektor der Kurve in die lineare Abbildung einsetzt. Dies ist ein Spezialfall der Kettenregel angewendet auf ${}f$ und ${}L$. Es ist ${}\left(DL\right)_{Q}=L$ nach Fakt und es ist nach Fakt ${}\left(Df\right)_{t}(1)=f'(t)$. Gemäß der Kettenregel ist das totale Differential der zusammengesetzten Kurve ${}L\circ f$ gleich

${}\left(DL\right)_{f(t)}\circ \left(Df\right)_{t}=L\circ \left(Df\right)_{t}\,$

und damit ist

${}{\begin{aligned}(L\circ f)'(t)&=\left(D(L\circ f)\right)_{t}(1)\\&=(\left(DL\right)_{f(t)}\circ \left(Df\right)_{t})(1)\\&=L(\left(Df\right)_{t}(1))\\&=L(f'(t)).\end{aligned}}$