Kommutative Algebra/Modultheorie/Kern und Bild von Modulhomomorphismen und Matrizen/Beispiel

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Sei ein kommutativer Ring, und -Moduln und ein Modulhomomorphismus. Dann sind und Untermoduln von bzw. .

Denn seien und , dann gilt

und

Seien nun und . Dann gibt es , mit und . Es gilt

und

Zu einer Matrix kann man über den durch die Matrix bezüglich einer Basis in und einem Erzeugendensystem in beschriebenen Modulhomomorphismus genauso auch und als Untermoduln beschreiben.

Für schreibt man auch oft , sinnbildlich als den Untermodul, der aus allen Elementen besteht, die entstehen, wenn man an alle Elemente aus von rechts multipliziert.