Kommutative Algebra/Modultheorie/Matrix zu Homomorphismus und umgekehrt/Definition

Matrix zu Modulhomomorphismus

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$, ${}N$ zwei endliche ${}R$-Moduln mit den Erzeugendensystemen ${}x_{1},\ldots ,x_{m}$ und ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$.

Zu einem Modulhomomorphismus

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

heißt eine

${}n\times m$-Matrix

${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}\,,$

wobei ${}a_{ij}$ die ${}i$-te Komponente von ${}\varphi (x_{j})$ bezüglich einer Darstellung ${}\varphi (x_{j})=a_{1j}y_{1}+\cdots +a_{nj}y_{n}$ im Erzeugendensystem ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ ist, eine beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ bezüglich der Erzeugendensysteme.

Wenn zudem ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ linear unabhängig ist, also eine Basis ist, dann heißt zu einer Matrix ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}\in \operatorname {Mat} _{n\times m}(R)$ der durch

$x_{j}\mapsto \sum _{i=1}^{n}a_{ij}y_{i}$

gemäß Fakt definierte Modulhomomorphismus ${}\varphi (M)$ der durch ${}M$ festgelegte Modulhomomorphismus.