Kommutative Hopf-Algebra/Kooperation/L-Punkte/Operation/Fakt

Es sei $K$ ein kommutativer Ring, $H$ eine kommutative Hopf-Algebra und  $G=\mathrm{Spek}\left(H\right)$  das zugehörige affine Gruppenschema. Es sei $R$ eine weitere kommutative $K$-Algebra, auf der eine Kooperation von $H$ und damit eine Operation von $G$ auf  $X=\mathrm{Spek}\left(R\right)$  vorliege. Dann gelten folgende Aussagen (dabei ist $\mu ={\mathrm{△}}^{\ast }$, $\nu =N^{\ast }$ und $j^{\ast }$ bezeichnet den Strukturmorphismus $X\to \mathrm{Spek}\left(K\right)$).

1. Die folgenden Diagramme von $K$-Morphismen kommutieren:

   $\begin{array}{cccc}G{\times }_{K}G{\times }_{K}X& \stackrel{\mu \times {\mathrm{Id}}_X}{⟶}& G{\times }_{K}X& \\ {\mathrm{Id}}_G\times \nu \downarrow & & \downarrow \nu & \\ G{\times }_{K}X& \stackrel{\nu }{⟶}& X& \end{array}$

   und

   $\begin{array}{cccc}X& \stackrel{\left({ϵ}^{\ast }{j}^{\ast }\right)\times {\mathrm{Id}}_X}{⟶}& G{\times }_{K}X& \\ & {\mathrm{Id}}_X\searrow & \downarrow \nu & \\ & & X& .\end{array}$

2. Für jede kommutative $K$-Algebra $L$ liegt eine Gruppenoperation von $G(L)$ auf $X(L)$ vor.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen