Kommutative Ringtheorie/Ganzheit und Endlichkeit/Textabschnitt
Lemma
Es sei eine endliche -Algebra und ein endlich erzeugter -Modul.
Dann ist auch ein endlich erzeugter -Modul.
Beweis
Es sei ein -Modul-Erzeugendensystem von und ein -Modul-Erzeugendensystem von . Dann bilden die Produkte , , , ein -Modul-Erzeugendensystem von .
Korollar
Es sei eine endliche -Algebra und eine endliche -Algebra.
Dann ist eine endliche -Algebra.
Beweis
Dies folgt direkt aus Fakt.
Satz
Es sei ein ganzer Ringhomomorphismus von endlichem Typ.
Dann ist endlich über .
Beweis
Es sei . Wir betrachten die Kette
![{\displaystyle {}S=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc693f85a379b8ec49deb70d68263db12c882333)
![{\displaystyle R\longrightarrow R[x_{1}]\longrightarrow R[x_{1},x_{2}]\longrightarrow \ldots \longrightarrow R[x_{1},\ldots ,x_{n}]=S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d29ecd28cddb5fc729d3422c1d3a3db1d0443a7a)
von ganzen Ringhomomorphismen, die jeweils durch ein Element erzeugt werden. Nach Fakt genügt es zu zeigen, dass
![{\displaystyle R\longrightarrow R[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b77b29545dfa9da1c4c0cbb1691670e8441db4f4)
endlich ist, wenn eine Ganzheitsgleichung über erfüllt. Mit der Ganzheitsgleichung lässt sich aber eine Potenz (und damit alle höheren Potenzen) von als -Linearkombination der kleineren Potenzen ausdrücken, so dass ein endlich erzeugter -Modul vorliegt.
