Kompakte riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung nach projektive Gerade/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt gibt es eine nichtkonstante meromorphe Funktion ${}f$ auf ${}X$. Nach Fakt entspricht dies einer holomorphen Abbildung von ${}X$ nach ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, die wir ebenfalls mit ${}f$ bezeichnen. Nach Fakt ist die Abbildung eigentlich. Insbesondere sind die Fasern kompakt. Aus der Diskretheit der Fasern bei einer nichttrivialen holomorphen Funktion folgt, dass die Fasern endlich sind. Da das Bild nach Fakt abgeschlossen und nach Fakt auch offen ist, folgt, dass die Abbildung surjektiv ist.

Zur bewiesenen Aussage