Kompakter metrischer Raum/Stetiger Integralkern/Kompakter Operator/Fakt

Es sei ${}M$ ein kompakter metrischer Raum mit einem endlichen Maß ${}\mu$ auf ${}M$. Es sei

$K\colon M\times M\longrightarrow {\mathbb {K} }$

ein stetiger Integralkern.

Dann ist die zugehörige Transformation

$T_{K}\colon L^{2}(M)\longrightarrow L^{2}(M),\,f\longmapsto T_{K}(f),$

mit

${}(T_{K}(f))(u)=\int _{M}K(u,t)f(t)d\mu (t)\,$

ein kompakter Operator.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen