Maßraum/Integralkern/Einführung/Textabschnitt

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Es seien und -endliche Maßräume mit dem Produktraum . Es sei

eine messbare Funktion, die in diesem Zusammenhang ein Integralkern oder kurz Kern heißt. Mit Hilfe eines solchen Integralkernes kann man unter gewissen Integrationsbedingungen messbare Funktionen auf in messbare -wertige Funktionen auf transformieren, indem man die transformierte Funktion durch

definiert. In dieses sehr allgemeine Konzept kann man die Fouriertransformation, die Laplacetransformation und Integralgleichungen einordnen.


Beispiel  

Es sei ein kompaktes Intervall und sei

eine stetige Funktion. Einer stetigen Funktion wird die mittels transformierte Funktion zugeordnet,


Wenn man die unterschiedlichen Rollen betonen möchte, so arbeitet man beispielsweise mit einer Zeitvariablen und einer Frequenzvariablen , aber eine allgemein stimmige Bezeichnungsphilosophie scheint nahezu unmöglich. Wir erwähnen einige typische Integralztransformationen.


Integralkern Integrationsgebiet Typischer Ausdruck
Fourier
Laplace
Mellin

Die Mellin-Transformation kommt beispielsweise bei der Definition der -Funktion vor, es ist

Hier ist also .


Definition  

Zu einer integrierbaren Funktion nennt man die Funktion

die durch

definiert ist, die Fourier-Transformation von .

Hier ist also der Integralkern. Für den Vorfaktor gelten unterschiedliche Konventionen, der gewählte passt am besten zur Rücktransformation.



Lemma  

Es sei ein endlicher Maßraum mit dem Produktraum und sei

ein beschränkter messbarer Integralkern.

Dann ist die zugehörige Transformation

mit

eine stetiger linearer Operator.

Beweis  

Es sei eine Schranke. Die Funktion ist dann insbesondere auf dem endlichen Maßraum integrierbar, so dass das Integral existiert. Dabei gilt

nach Fakt.

Zitat.



Lemma  

Es sei ein kompakter metrischer Raum mit einem endlichen Maß auf . Es sei

ein stetiger Integralkern.

Dann ist die zugehörige Transformation

mit

ein kompakter Operator.

Beweis  

Ein stetiger linearer Operator liegt nach Fakt vor.