Maßraum/Integralkern/Einführung/Textabschnitt

Es seien $(M,\mu )$ und $(N,\nu )$ $\sigma$-endliche Maßräume mit dem Produktraum $M\times N$. Es sei

$K:M\times N⟶𝕂$

eine messbare Funktion, die in diesem Zusammenhang ein Integralkern oder kurz Kern heißt. Mit Hilfe eines solchen Integralkernes kann man unter gewissen Integrationsbedingungen messbare Funktionen auf $M$ in messbare $𝕂$-wertige Funktionen auf $N$ transformieren, indem man die transformierte Funktion  $T(f)=T_K(f)$  durch

$(T(f))(y)={\int }_{M}K(x,y)f(x)d\mu$

definiert. In dieses sehr allgemeine Konzept kann man die Fouriertransformation, die Laplacetransformation und Integralgleichungen einordnen.

Beispiel

Es sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei

$K:[a,b]\times [a,b]⟶ℝ$

eine stetige Funktion. Einer stetigen Funktion $f:[a,b]\to ℝ$ wird die mittels $K$ transformierte Funktion $T(f)$ zugeordnet,

$(T(f))(y)={\int }_a^{b}K(x,y)f(x)dx.$

Wenn man die unterschiedlichen Rollen betonen möchte, so arbeitet man beispielsweise mit einer Zeitvariablen $t$ und einer Frequenzvariablen $u$, aber eine allgemein stimmige Bezeichnungsphilosophie scheint nahezu unmöglich. Wir erwähnen einige typische Integralztransformationen.

	Integralkern	Integrationsgebiet	Typischer Ausdruck $(Tf)(u)$
Fourier	$\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}{e}^{-\mathrm{i}⟨u,t⟩}$	${ℝ}^n$	$\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}{\int }_{{ℝ}^n}{e}^{-\mathrm{i}⟨u,t⟩}f(t)dt$
Laplace	$e^{-ut}$	${ℝ}_{+}$	${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-ut}f(t)dt$
Mellin	$t^{u-1}$	${ℝ}_{+}$	${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{u-1}f(t)dt$

Die Mellin-Transformation kommt beispielsweise bei der Definition der $\mathrm{\Gamma }$-Funktion vor, es ist

$\mathrm{\Gamma }(u)=\mathrm{Fak}(u-1):={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{u-1}{e}^{-t}dt.$

Hier ist also  $f(t)=e^{-t}$. 

Definition

Zu einer integrierbaren Funktion $f:{ℝ}^n\to ℂ$ nennt man die Funktion

$\hat{f}:{ℝ}^n⟶ℂ,$

die durch

$\hat{f}(𝔲):=\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}{\int }_{{ℝ}^n}{e}^{-\mathrm{i}⟨𝔲,𝔱⟩}f(𝔱)d𝔱$

definiert ist, die Fourier-Transformation von $f$.

Hier ist also $e^{-\mathrm{i}⟨u,t⟩}$ der Integralkern. Für den Vorfaktor gelten unterschiedliche Konventionen, der gewählte passt am besten zur Rücktransformation.

Lemma

Es sei $(M,\mu )$ ein endlicher Maßraum mit dem Produktraum $M\times M$ und sei

$K:M\times M⟶𝕂$

ein beschränkter messbarer Integralkern.

Dann ist die zugehörige Transformation

$T_K:L^2(M)⟶L^2(M),f⟼T_K(f),$

mit

$(T_K(f))(u)={\int }_{M}K(u,t)f(t)d\mu (t)$

eine stetiger linearer Operator.

Beweis

Es sei  $K(u,t)\le S$  eine Schranke. Die Funktion $K(u,t)f(t)$ ist dann insbesondere auf dem endlichen Maßraum integrierbar, sodass das Integral existiert. Dabei gilt

$\begin{array}{cc}(T(c_1{f}_1+c_2{f}_2))(u)& ={\int }_{M}K(u,t)(c_1{f}_1(t)+c_2{f}_2(t))d\mu (t)\\ & =c_1{\int }_{M}K(u,t)f_1(t)d\mu (t)+c_2{\int }_{M}K(u,t)(f_2(t))d\mu (t)\\ & =c_1(T(f_1))(u)+c_2(T(f_2))(u)\\ & =(c_1(T(f_1))+c_2(T(f_2)))(u)\end{array}$

nach Fakt.

$\begin{array}{cc}\Vert T(f){\Vert }^2& ={\int }_M|T(f)(u){|}^{2}d\mu (u)\\ & ={\int }_M|{\int }_{M}K(u,t)f(t)d\mu (t){|}^{2}d\mu (u)\\ & \le {\int }_M{({\int }_M|K(u,t)f(t)|d\mu (t))}^{2}d\mu (u)\\ & \le S^2{\int }_M{({\int }_M|f(t)|d\mu (t))}^{2}d\mu (u)\\ & \le S^2{\int }_M(\mu (M){\int }_M|f(t){|}^{2}d\mu (t))d\mu (u)\\ & =S^2\cdot \mu (M{)}^2\cdot \Vert f{\Vert }^2.\end{array}$

Zitat.

$◻$

Lemma

Es sei $M$ ein kompakter metrischer Raum mit einem endlichen Maß $\mu$ auf $M$. Es sei

$K:M\times M⟶𝕂$

ein stetiger Integralkern.

Dann ist die zugehörige Transformation

$T_K:L^2(M)⟶L^2(M),f⟼T_K(f),$

mit

$(T_K(f))(u)={\int }_{M}K(u,t)f(t)d\mu (t)$

ein kompakter Operator.

Beweis

Ein stetiger linearer Operator liegt nach Fakt vor.

$◻$