Kompaktheit/Stetige Funktion/Maximum wird angenommen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aufgrund von Fakt ist ${}f(X)\subseteq \mathbb {R}$ kompakt, also nach Fakt abgeschlossen und beschränkt. Insbesondere ist ${}f(X)\leq M$ für eine reelle Zahl ${}M$. Wegen ${}X\neq \emptyset$ besitzt ${}f(X)$ wegen Fakt ein Supremum ${}s$ in ${}\mathbb {R}$, das wegen der Abgeschlossenheit nach Fakt zu ${}f(X)$ gehört, also das Maximum von ${}f(X)$ ist. Daher gibt es auch ein ${}x\in X$ mit

${}f(x)=s$.

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