Komplexe Ebene/Weg/Windungszahl/Punktabhängigkeit/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist $\gamma ([0,1])$ kompakt nach Fakt und daher abgeschlossen nach Fakt, somit ist $U$ offen. Es sei  $P\in U$.  Wir zeigen

${\mathrm{ind}}_{\gamma }(P)={\mathrm{ind}}_{\gamma }(Q)$

für alle Punkte  $Q\in V$  aus einer offenen Umgebung $V$ von $P$. In $ℂ\setminus \{P\}$ ist $\gamma$ nach Fakt homotop zu einem mehrfach durchlaufenen Standardweg $\delta$ um $P$ und nach Fakt  (1) zählt die Windungszahl die Anzahl der Umläufe (mit Orientierung). Es sei

$H:[0,1]\times [0,1]⟶ℂ\setminus \{P\}$

eine Homotopie zwischen $\gamma$ und $\delta$. Da $H$ stetig und $[0,1]\times [0,1]$ kompakt ist, ist auch

$H([0,1]\times [0,1])\subseteq ℂ\setminus \{P\}$

kompakt und damit (in $ℂ\setminus \{P\}$ und auch) in $ℂ$ abgeschlossen. Es sei  $V=ℂ\setminus H([0,1]\times [0,1])$,  diese offene Menge ist insbesondere disjunkt zu $\gamma ([0,1])$. Für  $Q\in V$  kann man $H$ auch als eine Homotopie zwischen $\gamma$ und $\delta$ innerhalb von $ℂ\setminus \{Q\}$ auffassen. Damit ist unter Verwendung von Fakt

${\mathrm{ind}}_{\gamma }(P)={\mathrm{ind}}_{\delta }(P)={\mathrm{ind}}_{\delta }(Q)={\mathrm{ind}}_{\gamma }(Q).$

Zur bewiesenen Aussage