Komplexe Ebene/Windungszahl/Einführung/Textabschnitt

Die Windungszahl beschreibt, wie oft sich eine geschlossene Kurve um einen Punkt herumwindet. Wir geben eine analytische Definition über ein Wegintegral.

Definition

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }$ und sei

$\gamma \colon I\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{P\}$

ein stetiger, geschlossener stückweise stetig differenzierbarer Weg. Dann nennt man

${}\operatorname {ind} _{\gamma }(P)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {dz}{z-P}}\,$

die Windungszahl von ${}\gamma$ um ${}P$.

Statt Windungszahl sagt man auch Umlaufzahl oder Index, sie misst einfach, wie oft sich der Weg um den gegebenen Punkt windet. Diese Definition ist etwas unbefriedigend, da sie ein, auch für stetige geschlossene Kurven, intuitiv naheliegendes Konzept über ein Integral entwickelt. Das folgende Lemma gibt eine topologische Charakterisierung, sodass man auch von der Windungszahl eines stetigen Weges sprechen kann.

Lemma

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }$ und sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{P\}$

ein stetiger, geschlossener stückweise stetig differenzierbarer Weg. Dann erfüllt die Windungszahl folgende Eigenschaften.

1. Homotope Wege (innerhalb von ${}{\mathbb {C} }\setminus \{P\}$) haben die gleiche Windungszahl.
2. Wenn

   $\Psi \colon \pi _{1}({\mathbb {C} }\setminus \{P\})\longrightarrow \mathbb {Z}$

   ein Gruppenisomorphismus der Fundamentalgruppe mit ${}\mathbb {Z}$ ist, bei dem die Standardumrundung

   $[0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{P\},\,t\longmapsto P+e^{{\mathrm {i} }t},$

   auf ${}1$ abgebildet wird, dann ist

   ${}\operatorname {ind} _{\gamma }(P)=\Psi ([\gamma ])\,.$

   Insbesondere ist die Windungszahl ganzzahlig.

3. Es sei ${}{\tilde {\gamma }}$ eine Liftung von ${}\gamma$ zur (verschobenen) Exponentialfunktion

   ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{P\},\,z\longmapsto P+\exp z.$

   Dann ist

   ${}\operatorname {ind} _{\gamma }(P)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}{\left({\tilde {\gamma }}(b)-{\tilde {\gamma }}(a)\right)}\,.$

Beweis

1. folgt aus Fakt.
2. Die Windungszahl der angegebenen Umrundung ist gleich ${}1$. Deshalb und wegen (1) muss der Windungszahlhomomorphismus mit der Abbildung aus (2) übereinstimmen.
3. Sei ${}P=0$. Der Weg

   $\gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,t\longmapsto e^{t{\mathrm {i} }},$

   besitzt die Liftung

   ${\tilde {\gamma }}\colon [0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto t{\mathrm {i} }.$

   Daher ist der Ausdruck in (3) für diesen Weg gleich ${}1$. Diese Aussage folgt, da der Ausdruck in (3) nach Fakt homotopieinvariant und einen Gruppenhomomorphismus definiert.

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