Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Kurven/Tangentialraum/Reell/Fakt/Beweis

Beweis

Wir schreiben ${}T_{P}^{\mathbb {C} }M$ und ${}T_{P}^{\mathbb {R} }M$ für den komplexen bzw. den reellen Tangentialraum. Dabei ist ${}T_{P}^{\mathbb {C} }M$ ein komplexer Vektorraum der komplexen Dimension ${}n$, wobei ${}n$ die komplexe Dimension der komplexen Mannigfaltigkeit ${}M$ ist. Damit ist ${}T_{P}^{\mathbb {C} }M$ insbesondere ein reeller Vektorraum der reellen Dimension ${}2n$. Da ${}M$ als reelle differenzierbare Mannigfaltigkeit die Dimension ${}2n$ besitzt, hat auch ${}T_{P}^{\mathbb {R} }M$ die reelle Dimension ${}2n$. Wir betrachten die Abbildung

$T_{P}^{\mathbb {C} }M\longrightarrow T_{P}^{\mathbb {R} }M,\,[\gamma ]\longmapsto [\gamma {|}_{\mathbb {R} }],$

die einem holomorphen Tangentialvektor, der durch eine holomorphe Kurve ${}\gamma \colon B\rightarrow M$ mit ${}0\in B\subseteq {\mathbb {C} }$ und ${}\gamma (0)=P$ repräsentiert wird, den reellen Tangentialvektor zuordnet, der durch den reellen differenzierbaren Weg ${}\gamma {|}_{B\cap \mathbb {R} }$ repräsentiert wird. Diese Abbildung ist wohldefiniert und ${}\mathbb {R}$-linear. Zum Nachweis der Bijektivität betrachten wir zu einer Karte ${}\alpha \colon U\rightarrow V\subseteq {\mathbb {C} }^{n}\cong \mathbb {R} ^{2n}$ das Diagramm

${\begin{matrix}T_{P}^{\mathbb {C} }M&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }^{n}&\\\downarrow &&\downarrow &\\T_{P}^{\mathbb {R} }M&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mathbb {R} ^{2n}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

wobei die horizontalen Abbildungen die Bijektionen aus Fakt bzw. Fakt sind. Wegen

${}(\alpha \circ \gamma )'(0)=(\alpha \circ \gamma {|}_{\mathbb {R} })'(0)\,$

ist das Diagramm kommutativ, daher ist die linke vertikale Abbildung ein reeller Isomorphismus.

Zur bewiesenen Aussage