Komplexe Zahlen/Offene Menge/Hauptteilverteilung/Mittag-Leffler/Fakt/Beweis

Beweis

Die Trägermenge der Hauptverteilung ist diskret und daher auch abzählbar, es seien $P_n\in U$, $n\in {\mathbb{N}}_{+}$, die Punkte, auf denen die Hauptverteilung nicht trivial ist, und sei der Hauptteil in $P_n$ gleich

$h_n(z)=\sum _{k=1}^{d_n}\frac{a_{kn}}{{(z-P_n)}^k}.$

Jeder Hauptteil ist außerhalb des Punktes eine holomorphe Funktion. Es sei $A_{\ell }$ eine kompakte Ausschöpfung von $U$, die es nach Fakt gibt. Zu jedem  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$  wählen wir ein Polynom $g_n$ mit der Eigenschaft, dass

$f_n:=h_n(z)-g_n(z)\le 2^{-n}$

auf dem maximalen $A_{\ell (n)}$ mit  $P_n\notin A_{\ell (n)}$.  Da $h_n$ auf einer offenen Umgebung von $A_{\ell (n)}$ holomorph ist und $A_{\ell (n)}$ kompakt, gibt es ein solches Polynom nach Fakt. Wir betrachten die Reihe

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(z).$

Auf jedem $A_{\ell }$ gibt es nur endlich viele Punkte $P_n$, die zu $A_{\ell }$ gehören, für $P_n$ außerhalb (sagen wir ab $n_0$) gilt die obige Abschätzung. Daher konvergiert $\sum _{n=n_0}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(z)$ gleichmäßig auf $A_{\ell }$. Insbesondere definiert die Summe auf $U\setminus \{P_n,n\in {\mathbb{N}}_{+}\}$ eine Grenzfunktion $f$, die nach Fakt holomorph ist. In einem Punkt $P_n$ sind alle Summanden bis auf $h_n-f_n$ holomorph, und der Hauptteil dieses Summanden ist einfach $h_n$.

Zur bewiesenen Aussage