Komplexe Zahlen/Offene Menge/Hauptteilverteilung/Mittag-Leffler/Fakt/Beweis

Beweis

Die Trägermenge der Hauptverteilung ist diskret und daher auch abzählbar, es seien ${}P_{n}\in U$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, die Punkte, auf denen die Hauptverteilung nicht trivial ist, und sei der Hauptteil in ${}P_{n}$ gleich

${}h_{n}(z)=\sum _{k=1}^{d_{n}}{\frac {a_{kn}}{{\left(z-P_{n}\right)}^{k}}}\,.$

Jeder Hauptteil ist außerhalb des Punktes eine holomorphe Funktion. Es sei ${}A_{\ell }$ eine kompakte Ausschöpfung von ${}U$, die es nach Fakt gibt. Zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ wählen wir ein Polynom ${}g_{n}$ mit der Eigenschaft, dass

${}f_{n}:=h_{n}(z)-g_{n}(z)\leq 2^{-n}\,$

auf dem maximalen ${}A_{\ell (n)}$ mit ${}P_{n}\notin A_{\ell (n)}$. Da ${}h_{n}$ auf einer offenen Umgebung von ${}A_{\ell (n)}$ holomorph ist und ${}A_{\ell (n)}$ kompakt, gibt es ein solches Polynom nach Fakt. Wir betrachten die Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(z).$

Auf jedem ${}A_{\ell }$ gibt es nur endlich viele Punkte ${}P_{n}$, die zu ${}A_{\ell }$ gehören, für ${}P_{n}$ außerhalb (sagen wir ab ${}n_{0}$) gilt die obige Abschätzung. Daher konvergiert ${}\sum _{n=n_{0}}^{\infty }f_{n}(z)$ gleichmäßig auf ${}A_{\ell }$. Insbesondere definiert die Summe auf ${}U\setminus \{P_{n},n\in \mathbb {N} _{+}\}$ eine Grenzfunktion ${}f$, die nach Fakt holomorph ist. In einem Punkt ${}P_{n}$ sind alle Summanden bis auf ${}h_{n}-f_{n}$ holomorph, und der Hauptteil dieses Summanden ist einfach ${}h_{n}$.

Zur bewiesenen Aussage