Komplexer Torus/Lokal konstante Funktionen/Holomorphe Differentialform/Periodengitter/Bemerkung

Auf einem Torus ${}X=S^{1}\times S^{1}$ ist unabhängig von einer holomorphen Struktur

${}\pi _{1}(X)=\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \,$

mit den beiden jeweiligen einfachen Umkreisungen ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ als Basiswege (die allerdings nicht eindeutig bestimmt sind) und ${}H^{1}(X,{\mathbb {C} })\cong {\mathbb {C} }^{2}$, siehe Beispiel. Nach Fakt liegt ein natürlicher Gruppenisomorphismus

$H^{1}(X,{\mathbb {C} })\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(\pi _{1}(X),{\mathbb {C} }\right)},\,c\longmapsto {\left(\gamma \mapsto \int _{\gamma }c\right)},$

vor. Eine Kohomologieklasse links kann man also mit einer linearen Abbildung identifizieren, bei der den Basiswegen eine komplexe Zahl zugeordnet wird. Insbesondere erhält man eine Basis auf ${}H^{1}(X,{\mathbb {C} })$ in den zwei Klassen, die den beiden Auswertungen ${}e_{\gamma _{1}}$ und ${}e_{\gamma _{1}}$ entsprechen.

Wenn der Torus zusätzlich die Struktur einer riemannschen Fläche besitzt, so erhält man mit Fakt die exakte Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

und dazu (die ersten beiden Terme wurden schon verarbeitet) die lange Kohomologiesequenz

$0\longrightarrow H^{0}(X,\Omega _{X}){\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}H^{1}(X,{\mathbb {C} })\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,\Omega _{X})\longrightarrow \ldots$

(siehe auch Fakt). Der Raum ${}H^{0}(X,\Omega _{X})$ ist nach Fakt eindimensional. Wenn ${}X={\mathbb {C} }/\Gamma$ mit einem Gitter ${}\Gamma =\langle v_{1},v_{2}\rangle$ realisiert wird, so sind die Bilder der Kantenwege ${}t\mapsto tv_{1}$ bzw. ${}t\mapsto tv_{2}$ (${}t\in [0,1]$) Basiswege des Torus. Nach dem Beweis zu Fakt ist die Auswertung, die zu einer holomorphen Differentialform gehört, von der Form ${}\gamma _{1}\mapsto sv_{1},\gamma _{2}\mapsto sv_{2}$ mit einem festen ${}s\in {\mathbb {C} }$, also ein Vielfaches von ${}v_{1}e_{\gamma _{1}}+v_{2}e_{\gamma _{1}}$. Das Gitter spiegelt sich also darin wieder, wie der eindimensionale Raum ${}H^{0}(X,\Omega _{X})$ im zweidimensionalen nur von der Topologie abhängigen Raum ${}H^{1}(X,{\mathbb {C} })\cong {\mathbb {C} }^{2}$ liegt. Ein eindimensionaler komplexer Untervektorraum von ${}H^{1}(X,{\mathbb {C} })$ kann genau dann als ${}H^{0}(X,\Omega _{X})$ eines komplexen Torus realisiert werden, wenn die beiden Komponenten reell-linear unabhängig in ${}{\mathbb {C} }$ sind.