Kreisteilungskörper/Ist Galois/Beschreibung der Gruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

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Nach Fakt ist

wobei das -te Kreisteilungspolynom ist. Dieses ist das Produkt über alle primitiven Einheitswurzeln und damit vom Grad . Da der Kreisteilungskörper all diese primitiven Einheitswurzeln enthält, zerfällt das Kreisteilungspolynom über in Linearfaktoren und daher ist der Zerfällungskörper des Kreisteilungspolynoms und somit nach Fakt eine Galoiserweiterung.

Es sei nun eine primitive -te Einheitswurzel, und zwar diejenige, die bei der obigen Restklassenidentifizierung der Variablen entspricht. Zu ist ebenfalls eine primitive Einheitswurzel. Wir betrachten den Einsetzungshomomorphismus

Dieser ist surjektiv, da den Kreisteilungskörper erzeugt. Wegen induziert dies einen Automorphismus

Dadurch erhalten wir eine Zuordnung

Für ist

so dass gilt (da die Automorphismen auf dem Erzeuger festgelegt sind). Die Zuordnung ist also ein Gruppenhomomorphismus. Für verschiedene Einheiten ist und somit .

Die Abbildung ist also injektiv. Da es links und rechts Elemente gibt, ist die Abbildung eine Bijektion.