Kreisteilungskörper/Primzahl/Einheitswurzel/Diskriminante/Fakt/Beweis

Beweis

Das $p$-te Kreisteilungspolynom ist

${\Phi }_p=X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^2+X+1=(X-\zeta )(X-{\zeta }^2)\cdots (X-{\zeta }^{p-1}).$

Es ist nach Fakt

$\begin{array}{cc}\Delta (1,\zeta ,{\zeta }^2,\dots ,{\zeta }^{p-2})& =\prod _{0\le i<j\le p-2}{({\zeta }^i-{\zeta }^j)}^2\\ & =\pm \prod _{0\le i,j\le p-2,i\ne j}({\zeta }^i-{\zeta }^j).\end{array}$

Wenn man die Übergangsmatrix zwischen den beiden Basen $1,\zeta ,{\zeta }^2,\dots ,{\zeta }^{p-2}$ und $\zeta ,{\zeta }^2,\dots ,{\zeta }^{p-2},{\zeta }^{p-1}$ betrachtet, so ist deren Determinante gleich $\pm 1$ und deshalb kann man wegen Fakt genauso gut $\pm \prod _{1\le i,j\le p-1,i\ne j}({\zeta }^i-{\zeta }^j)$ berechnen.

Wir verwenden nun zwei verschiedene Möglichkeiten, die Ableitung des Kreisteilungspolynoms zu bestimmen. Die Ableitung von ${\Phi }_p$ ist nach der Produktregel gleich

$\sum _{k=1}^{p-1}(X-\zeta )(X-{\zeta }^2)\cdots (X-{\zeta }^{p-1})/(X-{\zeta }^k).$

Wenn man darin ${\zeta }^i$, $i=1,\dots ,p-1$, einsetzt, so werden alle Summanden mit der einzigen Ausnahme für  $k=i$  zu $0$, und der verbleibende Summand ist

${\Phi }_{p^{\prime }}\left({\zeta }^i\right)=\prod _{1\le j\le p-1,j\ne i}({\zeta }^i-{\zeta }^j).$

Somit ist die Diskriminante gleich

$\pm \prod _{i=1}^{p-1}{\Phi }_{p^{\prime }}\left({\zeta }^i\right)=\pm \prod _{\phi }{\Phi }_{p^{\prime }}\left(\phi \left(\zeta \right)\right)=\pm \prod _{\phi }\phi \left({\Phi }_{p^{\prime }}\left(\zeta \right)\right)=\pm N\left({\Phi }_{p^{\prime }}\left(\zeta \right)\right),$

wobei $\phi$ die Galoisgruppe von $K_p$ über $\mathbb{Q}$ durchläuft und Fakt verwendet wurde.

Aufgrund von

$X^p-1=(X-1){\Phi }_p$

gilt für die Ableitung auch die Beziehung

$p{X}^{p-1}=(X-1){\Phi }_{p^{\prime }}-{\Phi }_p.$

Wenn man darin $\zeta$ einsetzt, so erhält man

$p{\zeta }^{p-1}=p{\zeta }^{-1}=(\zeta -1){\Phi }_{p^{\prime }}(\zeta )$

und somit

${\Phi }_{p^{\prime }}(\zeta )=p{\zeta }^{-1}(\zeta -1{)}^{-1}.$

Die Norm von $\zeta -1$ ist

$N(\zeta -1)=\prod _{k=1}^{p-1}({\zeta }^k-1)=\pm {\mathrm{\Phi }}_p(1)=\pm p.$

Deshalb ist die Diskriminante nach Fakt und Fakt gleich

$\begin{array}{cc}\pm N({\Phi }_{p^{\prime }}(\zeta ))& =\pm N(p{\zeta }^{-1}(\zeta -1{)}^{-1})\\ & =\pm N(p)N\left({\zeta }^{-1}\right)N((\zeta -1{)}^{-1})\\ & =\pm p^{p-1}\cdot \frac{1}{p}\\ & =\pm p^{p-2}.\end{array}$

Zur bewiesenen Aussage