Kreisteilungskörper/Primzahl/Einheitswurzel/Diskriminante/Fakt/Beweis

Beweis

Das ${}p$-te Kreisteilungspolynom ist

${}\Phi _{p}=X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1=(X-\zeta )(X-\zeta ^{2})\cdots (X-\zeta ^{p-1})\,.$

Es ist nach Fakt

${}{\begin{aligned}\triangle (1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{p-2})&=\prod _{0\leq i<j\leq p-2}(\zeta ^{i}-\zeta ^{j})^{2}\\&=\pm \prod _{0\leq i,j\leq p-2,\,i\neq j}(\zeta ^{i}-\zeta ^{j}).\end{aligned}}$

Wenn man die Übergangsmatrix zwischen den beiden Basen ${}1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{p-2}$ und ${}\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{p-2},\zeta ^{p-1}$ betrachtet, so ist deren Determinante gleich ${}\pm 1$ und deshalb kann man wegen Fakt genauso gut ${}\pm \prod _{1\leq i,j\leq p-1,\,i\neq j}(\zeta ^{i}-\zeta ^{j})$ berechnen.

Wir verwenden nun zwei verschiedene Möglichkeiten, die Ableitung des Kreisteilungspolynoms zu bestimmen. Die Ableitung von ${}\Phi _{p}$ ist nach der Produktregel gleich

$\sum _{k=1}^{p-1}(X-\zeta )(X-\zeta ^{2})\cdots (X-\zeta ^{p-1})/(X-\zeta ^{k}).$

Wenn man darin ${}\zeta ^{i}$, ${}i=1,\ldots ,p-1$, einsetzt, so werden alle Summanden mit der einzigen Ausnahme für ${}k=i$ zu ${}0$, und der verbleibende Summand ist

${}\Phi _{p}'(\zeta ^{i})=\prod _{1\leq j\leq p-1,\,j\neq i}(\zeta ^{i}-\zeta ^{j})\,.$

Somit ist die Diskriminante gleich

${}\pm \prod _{i=1}^{p-1}\Phi _{p}'(\zeta ^{i})=\pm \prod _{\varphi }\Phi _{p}'(\varphi (\zeta ))=\pm \prod _{\varphi }\varphi (\Phi _{p}'(\zeta ))=\pm N(\Phi _{p}'(\zeta ))\,,$

wobei ${}\varphi$ die Galoisgruppe durchläuft und Fakt verwendet wurde. Aufgrund von

${}X^{p}-1=(X-1)\Phi _{p}\,$

gilt für die Ableitung auch die Beziehung

${}pX^{p-1}=(X-1)\Phi _{p}'-\Phi _{p}\,.$

Wenn man darin ${}\zeta$ einsetzt, so erhält man

${}p\zeta ^{p-1}=p\zeta ^{-1}=(\zeta -1)\Phi _{p}'(\zeta )\,$

und somit

${}\Phi _{p}'(\zeta )=p\zeta ^{-1}(\zeta -1)^{-1}\,.$

Die Norm von ${}\zeta -1$ ist

${}N(\zeta -1)=\prod _{k=1}^{p-1}(\zeta ^{k}-1)=\pm \Phi _{p}(1)=\pm p\,.$

Deshalb ist die Diskriminante nach Fakt und Fakt gleich

${}{\begin{aligned}\pm N(\Phi _{p}'(\zeta ))&=\pm N(p\zeta ^{-1}(\zeta -1)^{-1})\\&=\pm N(p)N(\zeta ^{-1})N((\zeta -1)^{-1})\\&=\pm p^{p-1}\cdot {\frac {1}{p}}\\&=\pm p^{p-2}\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage