Kubische Wurzel/Kubikzahlen/Aufgabe/Lösung

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a) Wegen besitzt das Polynom keine Nullstelle in . Daher ist es nach Fakt irreduzibel und somit ist nach Fakt das Minimalpolynom und somit besitzt die Körpererweiterung

den Grad . Eine -Basis ist durch gegeben.

b) Es ist

und

c) Eine dritte Potenz in besitzt die Form mit . Sei

mit . Dann ist

mit

und

Wegen müssen die beiden hinteren Komponenten sein, also

Daher ist auch

Sei zuerst der hintere Faktor . Bei müsste

sein, was der Irrationalität dieser dritten Wurzel widerspricht. Also ist und damit auch .

Sei nun

Wegen folgt daraus oder . In jedem Fall sind also mindestens zwei der Koeffizienten gleich . Die zugehörigen dritten Potenzen sind

und somit sind die rationalen Zahlen, die in diesem Körper eine dritte Wurzel besitzen, von der beschriebenen Art.

d) Wir betrachten die Körpererweiterung

Nach Teil b) ist . Somit ist irreduzibel über und daher besitzt nach der gleichen Argumentation wie unter a) die Körpererweiterung

den Grad . Nach der Gradformel besitzt die Gesamterweiterung

den Grad

.