Kummererweiterung/Graduierte Körpererweiterung/Äquivalenz/Fakt

Es sei ${}m\in \mathbb {N}$ und sei ${}K$ ein Körper, der eine ${}m$-te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Wenn ${}L=\bigoplus _{d\in D}L_{d}$ eine ${}D$-graduierte Körpererweiterung ist, so ist ${}K\subseteq L$ eine Kummererweiterung zum Exponenten ${}m$.
2. Sei ${}K\subseteq L$ eine Kummererweiterung zum Exponenten ${}m$ mit Galoisgruppe ${}G$. Es sei ${}D=\operatorname {Char} \,(G,K)$ die Charaktergruppe von ${}G$. Zu ${}\delta \in D$ sei

   ${}L_{\delta }={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=\delta (\varphi )\cdot x{\text{ für alle }}\varphi \in G\right\}}\,.$

   Dann ist ${}L=\bigoplus _{\delta \in D}L_{\delta }$ eine ${}D$-graduierte Körpererweiterung.

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