Kummererweiterung/Graduierte Körpererweiterung/Äquivalenz/Fakt

Es sei  ${}m\in \mathbb {N}$  und sei ${}K$ ein Körper, der eine ${}m$-te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Wenn  ${}L=\bigoplus _{d\in D}L_{d}$  eine ${}D$-graduierte Körpererweiterung ist, so ist  ${}K\subseteq L$  eine Kummererweiterung zum Exponenten ${}m$.
2. Es sei  ${}K\subseteq L$  eine Kummererweiterung zum Exponenten ${}m$ mit Galoisgruppe ${}G$. Es sei  ${}D=\operatorname {Char} \,(G,K)$  die Charaktergruppe von ${}G$. Zu  ${}\delta \in D$  sei

   ${}L_{\delta }={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=\delta (\varphi )\cdot x{\text{ für alle }}\varphi \in G\right\}}\,.$

   Dann ist  ${}L=\bigoplus _{\delta \in D}L_{\delta }$  eine ${}D$-graduierte Körpererweiterung.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen