Kummererweiterung/Graduierte Körpererweiterung/Äquivalenz/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Dies ist eine Neuformulierung von Fakt.
(2). Nach Fakt sind sämtliche Automorphismen ${}\varphi \in G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ diagonalisierbar. Da die Galoisgruppe abelsch ist, folgt aus Fakt die simultane Diagonalisierbarkeit aller Automorphismen ${}\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}$ (${}n={\#\left(G\right)}$). Das heißt, dass man ${}L=\bigoplus _{i=1}^{n}L_{i}$ mit eindimensionalen ${}K$-Untervektorräumen ${}L_{i}$ schreiben kann, die unter jedem ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ auf sich abgebildet werden. Zu jedem ${}L_{i}$ und jedem ${}\varphi$ ist dabei ${}\varphi (x)=\zeta _{i,\varphi }\cdot x$ für jedes ${}x\in L_{i}$, das Element ${}\zeta _{i,\varphi }$ beschreibt also den Eigenwert von ${}\varphi$ auf ${}L_{i}$. Die Zuordnung

$\delta _{i}\colon G\longrightarrow K^{\times },\,\varphi \longmapsto \zeta _{i,\varphi },$

ist dabei ein Charakter. Es ist ${}L_{i}\subseteq L_{\delta _{i}}$, da ja ${}L_{i}$ die zu ${}\delta _{i}$ gehörende Eigenraumbedingung erfüllt. Wegen

${}n=\operatorname {grad} _{K}L={\#\left(G\right)}={\#\left(D\right)}\,$

ist ${}L_{i}=L_{\delta _{i}}$ und jeder Charakter ${}\delta$ tritt als ein ${}\delta _{i}$ auf. Also ist ${}L=\bigoplus _{\delta \in D}L_{\delta }$. Die Stufe zum konstanten Charakter ist ${}K$. Für ${}x_{1}\in L_{\delta _{1}}$ und ${}x_{2}\in L_{\delta _{2}}$ und ${}\varphi \in G$ ist

${}\varphi (x_{1}x_{2})=\varphi (x_{1})\varphi (x_{2})=\delta _{1}(\varphi )x_{1}\delta _{2}(\varphi )x_{2}=\delta _{1}(\varphi )\delta _{2}(\varphi )x_{1}x_{2}={\left(\delta _{1}\cdot \delta _{2}\right)}(\varphi )x_{1}x_{2}\,,$

also ${}x_{1}x_{2}\in L_{\delta _{1}\cdot \delta _{2}}$, sodass in der Tat eine graduierte Körpererweiterung vorliegt.

Zur bewiesenen Aussage