Kurs:Algebraische Kurven/15/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 0 }
\renewcommand{\avier}{ 6 }
\renewcommand{\afuenf}{ 0 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 0 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 0 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 0 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 0 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 7 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 44 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {rationale Funktionenkörper} {} zu einem Körper $K$.
}{Eine \stichwort {irreduzible Komponente} {} einer \definitionsverweis {affin-algebraischen Menge}{}{} $V$.
}{Ein \stichwort {noetherscher} {} Ring.
}{Die \stichwort {Normalisierung} {} eines Integritätsbereiches $R$.
}{Eine \stichwort {monomiale} {} Kurve.
}{Ein \stichwort {transversaler} {} Schnitt von zwei ebenen Kurven \mathkor {} {V(F)} {und} {V(G)} {} in einem Punkt $P$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Man nennt den
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mathl{Q(K[X])}{} zum
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X]}{} den rationalen Funktionenkörper über $K$.
}{Eine affin-algebraische Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{W
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt eine irreduzible Komponente von $V$, wenn sie
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist und wenn es keine irreduzible Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{W
}
{ \subset }{ W'
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}{Ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
$R$ heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin
\definitionsverweis {endlich erzeugt}{}{}
ist.
}{Man nennt den
\definitionsverweis {ganzen Abschluss}{}{}
von $R$ im Quotientenkörper
\mathl{Q(R)}{} die Normalisierung von $R$.
}{Eine monomiale Kurve ist das Bild der affinen Geraden ${\mathbb A}^{1}_{K}$ unter einer Abbildung der Form
\maabbeledisp {} {{\mathbb A}^{1}_{K} } { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
} {t} { \left( t^{e_1} , \, \ldots , \, t^{e_n} \right)
} {,}
mit
\mathl{e_i \geq 1}{} für alle $i$.
}{Die Kurven
\mathkor {} {V(F)} {und} {V(G)} {}
schneiden sich im Punkt
\mathl{P\in V(F,G)}{} transversal, wenn $P$ sowohl auf
\mathl{V(F)}{} als auch auf
\mathl{V(G)}{} ein
\definitionsverweis {glatter Punkt}{}{}
ist und wenn die Tangenten der beiden Kurven im Punkt $P$ verschieden sind.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die rationale Parametrisierung einer ebenen Kurve.}{Der Satz über den Koordinatenring des affinen Raumes.}{Der Satz über die Normalisierung von Monoidringen.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es seien zwei rationale Funktionen
\mathkor {} {\varphi_1=\frac{P_1}{Q_1}} {und} {\varphi_2=\frac{P_2}{Q_2}} {}
mit
\mathbed {P_1, P_2,Q_1,Q_2 \in K[T]} {}
{Q_1,Q_2 \neq 0} {}
{} {} {} {,}
gegeben, die nicht beide konstant seien.
Dann gibt es ein nichtkonstantes Polynom
\mathl{F \in K[X,Y]}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(\varphi_1(T), \varphi_2(T))
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Es sei $K$ ein unendlicher Körper.
Dann ist das Verschwindungsideal des affinen Raumes
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} das Nullideal und der zugehörige Koordinatenring ist der Polynomring
\mathl{K[X_1, \ldots,X_n]}{.}}{Es sei $M$ ein torsionsfreies kommutatives Monoid mit Kürzungsregel und mit zugehöriger Differenzengruppe
\mathl{\Gamma(M)}{} und mit Normalisierung
\mathbed {\tilde{M}} {}
{M \subseteq \tilde{M} \subseteq \Gamma(M)} {}
{} {} {} {.}
Es sei $R$ ein normaler Integritätsbereich. Dann ist die Normalisierung des Monoidringes
\mathl{R[M]}{} der Monoidring
\mathl{R[\tilde{M}]}{.}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mathl{R[X]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über $R$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
mit
\definitionsverweis {Erzeugern}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { (F_0, F_1 , \ldots , F_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F_0
}
{ = }{X-r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{r \in R}{} sei. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
seien
\mathl{G_i}{} die Elemente aus $R$, die entstehen, wenn man in $F_i$ die Variable $X$ durch $r$ ersetzt. Zeige, dass eine
\definitionsverweis {Ringisomorphie}{}{}
der
\definitionsverweis {Restklassenringe}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R[X] / {\mathfrak a}
}
{ \cong} { R/(G_1 , \ldots , G_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vorliegt.
}
{
Wir betrachten den
\zusatzklammer {surjektiven} {} {}
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} {R[X]} { R/(G_1 , \ldots , G_n)
} {X} { [r]
} {,}
der $X$ auf die Restklasse zu $r$ abbildet. Dabei wird
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F_0
}
{ = }{ X-r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf $0$ und die
\mathbed {F_i} {}
{i \geq 1} {}
{} {} {} {,}
werden auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G_i
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
abgebildet. Nach
dem Satz über den induzierten Ringhomorphismus
gibt es dann einen surjektiven Ringhomomorphismus
\maabbdisp {\varphi} { R[X]/ {\mathfrak a} } { R/(G_1 , \ldots , G_n)
} {.}
Diesen müssen wir als injektiv nachweisen. Es sei dazu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { a_0 +a_1 X + \cdots + a_n X^n
}
{ \in} { R[X]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
das unter $\varphi$ auf $0$ abgebildet wird, d.h. es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(r)
}
{ = }{ a_0 +a_1 r + \cdots + a_n r^n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in
\mathl{R/(G_1 , \ldots , G_n)}{,} und das bedeutet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_0 +a_1 r + \cdots + a_n r^n
}
{ \in} { (G_1 , \ldots , G_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $R$. Wir betrachten
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ P- P(r)
}
{ =} { \sum_{i= 0}^n a_i X^i - \sum_{i= 0}^n a_i r^i
}
{ =} { \sum_{i= 0}^n a_i (X^i -r^i)
}
{ =} { \sum_{i= 1}^n a_i (X^i -r^i)
}
{ =} { \sum_{i= 1}^n (X-r) H_i
}
}
{}
{}{,}
wobei die letzte Gleichung darauf beruht, dass man in
\mathl{X^i-r^i}{} stets
\mathl{(X-r)}{} ausklammern kann. Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P - P(r)
}
{ \in} { (X-r)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ \in} { (X-r,G_1 , \ldots , G_n )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen den entsprechenden Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F_i-G_i
}
{ =} { F_i -F_i(r)
}
{ =} { (X-r) B_i
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit gewissen $B_i$ und somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ \in} { (X-r,G_1 , \ldots , G_n )
}
{ =} { (X-r,F_1 , \ldots , F_n )
}
{ =} { {\mathfrak a}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s,t
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die drei Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left( s , \, s^3 \right) ,\, \left( t , \, t^3 \right) ,\, \left( -(s+t) , \, -(s+t)^3 \right)
}
{ \in }{ {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf einer Gerade liegen.
}
{
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ = }{t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind die ersten beiden Punkte gleich und die Behauptung stimmt. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \neq }{t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Gleichung für die Gerade durch die beiden Punkte
\mathkor {} {\left( s , \, s^3 \right)} {und} {\left( t , \, t^3 \right)} {}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( t^3-s^3 \right) } x - { \left( t-s \right) } y
}
{ =} { s t^3 -ts^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Hierbei kann man überall
\mathl{t-s}{} ausklammern und erhält die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( t^2+ts+s^2 \right) } x - y
}
{ =} { (t+s) st
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir setzen nun den Punkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(x,y)
}
{ =} { \left( -(s+t) , \, -(s+t)^3 \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in die Geradengleichung ein und erhalten
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( t^2+ts+s^2 \right) } { \left( -(s+t) \right) } +(s+t)^3
}
{ =} { -t^3 - 2t^2s -2 ts^2 -s^3 +s^3 +3s^2t+3st^2+t^3
}
{ =} { s^2t+st^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
der Punkt liegt also auf der Geraden.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Beweise den Satz über die Überdeckung und das Einheitsideal.
}
{
Es sei ${\mathfrak b}$ das von den $F_i$
\definitionsverweis {erzeugte Ideal}{}{.}
Die Voraussetzung besagt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigcap_{i \in I} V(F_i)
}
{ =} { V( {\mathfrak b} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
leer ist. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V( {\mathfrak b})
}
{ \subseteq }{ V(1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aus
dem Hilbertschen Nullstellensatz
folgt, dass eine Potenz von $1$, also $1$ selbst, zu ${\mathfrak b}$ in
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} gehört. D.h. dass ${\mathfrak b}$ das
\definitionsverweis {Einheitsideal}{}{}
ist.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{V(x^2+y^2-1)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Einheitskreis über einem Körper $K$ und es seien
\mathkor {} {P=(a,b)} {und} {Q=(c,d)} {}
Punkte auf $V$. Zeige, dass es einen
\definitionsverweis {Automorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(P)
}
{ =} { Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{
Es genügt, für die beiden Punkte
\mathl{(1,0)}{} und
\mathl{P=(a,b) \in V}{} einen Automorphismus des Kreises anzugeben, der
\mathl{(1,0)}{} in $P$ überführt, da man den geforderten Automorphismus dann als eine Hintereinanderschaltung solcher Morphismen
\zusatzklammer {bzw. des Umkehrmorphismus} {} {}
erhalten kann. Wir betrachten die bijektive
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} {K^2} { K^2
} {,}
die durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}} { }
gegeben ist. Diese bildet den Punkt $(1,0)$ auf
\mathl{(a,b)}{} ab. Ein Punkt
\mathl{(x,y) \in V}{} wird dabei auf
\mathl{(ax-by, bx+ay)}{} abgebildet. Für den Bildpunkt gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (ax-by)^2 + (bx+ax)^2
}
{ =} { a^2x^2 -2abxy +b^2y^2 +b^2x^2 + 2abxy+ a^2y^2
}
{ =} { (a^2+b^2)x^2 + (a^2+b^2)y^2
}
{ =} { x^2+y^2
}
{ =} { 1
}
}
{}
{}{,}
d.h. der Bildpunkt liegt wieder auf dem Kreis. Somit induziert $\varphi$ eine
\zusatzklammer {algebraische} {} {}
Abbildung
\maabb {\varphi} {V} {V
} {.}
Entsprechend liefert die durch die Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}}{} gegebene inverse Abbildung einen inversen Morphismus, so dass insgesamt ein Automorphismus vorliegt.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5 (1+4)}
{
Wir betrachten die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { xy^3+y+x^3
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene Kurve in ${\mathbb A}^{2}_{K}$ über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{char} (K )
}
{ = }{ 7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Punkt
\mathl{(4,2)}{} ein singulärer Punkt der Kurve ist.
} {Zeige, dass die Kurve bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{char} (K )
}
{ \neq }{ 7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {glatt}{}{}
ist.
}
}
{
Die partiellen Ableitungen sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial x } }
}
{ =} { y^3+3x^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial y } }
}
{ =} { 3xy^2+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Im gegebenen Punkt
\mathl{(4,2)}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(4,2)
}
{ =} { 4 \cdot 2^3 +2 +4^3
}
{ =} {32 +2+64
}
{ =} { 98
}
{ =} { 0
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial x } } (4,2)
}
{ =} { 8 + 3 \cdot 16
}
{ =} { 56
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial y } } (4,2)
}
{ =} { 3 \cdot 4 \cdot 4 +1
}
{ =} { 49
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also liegt ein singulärer Punkt vor.
} {Es ist zu zeigen, dass diese beiden partiellen Ableitungen und $f$ über einem beliebigen Körper der Charakteristik $\neq 7$ keine gemeinsame Nullstelle haben. Aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^3
}
{ =} {-3x^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und der Kurvengleichung folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x (-3x^2) +y+x^3
}
{ =} { y -2x^3
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} {2x^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies in die erste partielle Ableitung eingesetzt ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^3 +3x^2
}
{ =} { 8x^9 +3x^2
}
{ =} { { \left( 8x^7 +3 \right) } x^2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Dies in die zweite partielle Ableitung eingesetzt ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3xy^2
}
{ =} { 3x { \left( 2x^3 \right) }^2
}
{ =} { 12 x^7
}
{ =} { -1
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus folgt einerseits
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und andererseits, dass wir Charakteristik $\neq 2,3$ annehmen können. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^7
}
{ =} { - { \frac{ 3 }{ 8 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^7
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ 12 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 3 }{ 8 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 12 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 9
}
{ =} {2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was bei Charakteristik $\neq 7$ ausgeschlossen ist.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {numerisches Monoid}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Singularitätsgrad}{}{}
von $M$ mit den drei folgenden Zahlen übereinstimmt.
\aufzaehlungdrei{Die maximale Länge einer Kette von Monoiden
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {M_0
}
{ \subset} {M_1
}
{ \subset} {M_2
}
{ \subset \ldots \subset} {M_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {\N
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
}{Die maximale Länge einer Kette von
$K$-\definitionsverweis {Algebren}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K[M]
}
{ =} { R_0
}
{ \subset} {R_1
}
{ \subset} {R_2
}
{ \subset \ldots \subset} {R_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { K[T]
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
}{Die maximale Länge einer Kette
\zusatzklammer {einer
\definitionsverweis {Fahne}{}{}} {} {}
von
$K$-\definitionsverweis {Untervektorräumen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K[M]
}
{ =} { V_0
}
{ \subset} {V_1
}
{ \subset} {V_2
}
{ \subset \ldots \subset} {V_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { K[T]
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
}
}
{
Der Singularitätsgrad $\delta$ ist die Anzahl der Lücken von $M$ in $\N$, der nach
[[Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Singularitätsgrad/Beziehung zur Normalisierung/Fakt|Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Singularitätsgrad/Beziehung zur Normalisierung/Fakt/Faktreferenznummer (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018))]]
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_K (R^{\operatorname{norm} }/R)
}
{ = }{\dim_K (K[T]/K[M] )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
übereinstimmt.
\aufzaehlungdrei{Bei einer Kette von Monoiden
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {M_0
}
{ \subset} {M_1
}
{ \subset} {M_2
}
{ \subset \ldots \subset} {M_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {\N
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
muss in jedem Schritt mindestens ein Element hinzukommen, so dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \leq }{ \delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Wenn man $M_{i+1}$ sukzessive dadurch definiert, dass man zu $M_{i}$ das größte Element hinzunimmt, das nicht zu $M_{i}$ gehört, so ist dies ein Monoid, das genau ein Element mehr als $M_{i}$ besitzt. Dieses Verfahren ergibt eine Kette der Länge $\delta$ wie gewünscht.
}{Zur Kette der Länge $\delta$ gehört die Kette von
$K$-\definitionsverweis {Algebren}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K[M]
}
{ =} {K[M_0]
}
{ \subset} {K[M_1]
}
{ \subset} {K[M_2]
}
{ \subset \ldots \subset} {K[M_\delta]
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {K[\N]
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{,}
wobei die Inklusionen echt sind, da zu
\mathl{T^m \in M_{i+1}\setminus M_i}{} auch
\mathl{T^m \in K[M_{i+1} ] \setminus K[M_i]}{} gilt. Dass es keine längeren Ketten gibt, wird allgemeiner in Teil (3) begründet.
}{Die Algebrakette aus Teil (2) ist insbesondere eine Kette von
$K$-\definitionsverweis {Untervektorräumen}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( K[\N]/K[M] \right) }
}
{ =} { \delta
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
kann es keine längeren Ketten von Untervektorräumen geben, da diese den Ketten im Restklassenraum
\mathl{K[\N]/K[M]}{} entsprechen und es in einem Vektorraum der Dimension $\delta$ nur Ketten der maximalen Länge $\delta$ geben kann.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die Schnittmultiplizität und den transversaler Schnitt.
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{K[X,Y]_{\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {lokale Ring}{}{}
zum
\zusatzklammer {Null} {-} {}Punkt $P$ in der Ebene. Es sei zunächst der Schnitt als transversal vorausgesetzt. Dann sind insbesondere beide Kurven in $P$ glatt, und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B
}
{ = }{R(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nach
Lemma 23.3 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018))
ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{.}
Da die Tangenten verschieden sind, können wir annehmen, dass die Tangente an \mathkon { V(F) } { durch } { V(Y) }{ } und die Tangente an \mathkon { V(G) } { durch } { V(X) }{ } gegeben ist. Nach dem Beweis zu
Lemma 23.3 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018))
ist dann $X$ eine Ortsuniformisierende von $B$. Da $G$ die Form \mathkon { G=X+H } { mit } { H \in {\mathfrak m}^2 }{ } hat, ist $G$ ebenfalls eine Ortsuniformisierende in $B$ und daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B/(G)
}
{ = }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher ist die Schnittmultiplizität eins.
Für die Rückrichtung folgt aus
Lemma 26.4 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)), dass die Multiplizität der beiden Kurven in $P$ eins sein muss und daher beide Kurven in $P$ glatt sind. Nehmen wir an, dass die Tangenten übereinstimmen. Dann können wir annehmen, dass sowohl \mathkon { F } { als auch } { G }{ } die Form $Y +$ Terme von größerem Grad besitzen. Man kann die Idealerzeuger
\mathl{(F,G)}{} durch
\mathl{(F,F-G)}{} ersetzen, und dabei ist
\mathl{F-G \in {\mathfrak m}^2}{.} Dann erzeugt aber
\mathl{F-G}{} in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B
}
{ = }{R/(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht das maximale Ideal, und die Schnittmultiplizität kann nicht eins sein.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Multiplizität}{}{}
der
\definitionsverweis {ebenen projektiven Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+ { \left( X^4+YZ^3+Z^4 \right) }
}
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Punkt
\mathl{(0,1,0)}{} sowie die
\zusatzklammer {projektiven} {} {}
\definitionsverweis {Tangente}{}{}(n) in diesem Punkt.
}
{
Der Punkt liegt in der offenen Umgebung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}}
}
{ \cong} { D_+(Y)
}
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
so dass wir darauf die Multiplizität bestimmen können. Wir setzen also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und erhalten die inhomogene Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^4+Z^3+ Z^4
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die
\definitionsverweis {homogene Zerlegung}{}{}
ist
\mathdisp {Z^3 + { \left( X^4+Z^4 \right) }} { . }
Somit ist die Multiplizität gleich $3$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Z
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die einzige Gleichung für eine
\zusatzklammer {affine} {} {}
Tangente. Die einzige projektive Tangente ist der projektive Abschluss davon, also
\mathl{V_+(Z)}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme die Schnittpunkte der Fermat-Kubik
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+ { \left( X^3+Y^3+Z^3 \right) }
}
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Geraden
\mathl{V_+(X+Y+Z)}{.}
}
{
Es sind offenbar
\mathdisp {(1,-1,0),\, (1,0,-1),\, (0, 1,-1)\,} { }
Schnittpunkte der Kurve mit der Geraden. Nach dem Satz von Bezout kann es nicht mehr Schnittpunkte geben.
}