Kurs:Algebraische Kurven/15/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 0 6 0 0 0 3 0 5 0 0 4 0 7 3 2 36




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der rationale Funktionenkörper zu einem Körper .
  2. Eine irreduzible Komponente einer affin-algebraischen Menge .
  3. Ein noetherscher Ring.
  4. Die Normalisierung eines Integritätsbereiches .
  5. Eine monomiale Kurve.
  6. Ein transversaler Schnitt von zwei ebenen Kurven und in einem Punkt .


Lösung

  1. Man nennt den Quotientenkörper zum Polynomring den rationalen Funktionenkörper über .
  2. Eine affin-algebraische Teilmenge heißt eine irreduzible Komponente von , wenn sie irreduzibel ist und wenn es keine irreduzible Teilmenge gibt.
  3. Ein kommutativer Ring heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.
  4. Man nennt den ganzen Abschluss von im Quotientenkörper die Normalisierung von .
  5. Eine monomiale Kurve ist das Bild der affinen Geraden unter einer Abbildung der Form

    mit für alle .

  6. Die Kurven und schneiden sich im Punkt transversal, wenn sowohl auf als auch auf ein glatter Punkt ist und wenn die Tangenten der beiden Kurven im Punkt verschieden sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die rationale Parametrisierung einer ebenen Kurve.
  2. Der Satz über den Koordinatenring des affinen Raumes.
  3. Der Satz über die Normalisierung von Monoidringen.


Lösung

  1. Es seien zwei rationale Funktionen und mit , , gegeben, die nicht beide konstant seien. Dann gibt es ein nichtkonstantes Polynom mit
  2. Sei ein unendlicher Körper. Dann ist das Verschwindungsideal des affinen Raumes das Nullideal und der zugehörige Koordinatenring ist der Polynomring .
  3. Sei ein torsionsfreies kommutatives Monoid mit Kürzungsregel und mit zugehöriger Differenzengruppe und mit Normalisierung , . Sei ein normaler Integritätsbereich Dann ist die Normalisierung des Monoidringes der Monoidring .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring und der Polynomring über . Es sei ein Ideal mit Erzeugern

wobei mit sei. Für seien die Elemente aus , die entstehen, wenn man in die Variable durch ersetzt. Zeige, dass eine Ringisomorphie der Restklassenringe

vorliegt.


Lösung

Wir betrachten den (surjektiven) Einsetzungshomomorphismus

der auf die Restklasse zu abbildet. Dabei wird auf und die , , werden auf abgebildet. Nach dem Satz über den induzierten Ringhomorphismus gibt es dann einen surjektiven Ringhomomorphismus

Diesen müssen wir als injektiv nachweisen. Sei dazu

das unter auf abgebildet wird, d.h. es ist in , und das bedeutet

in . Wir betrachten

wobei die letzte Gleichung darauf beruht, dass man in stets ausklammern kann. Somit ist

und insgesamt

Wegen den entsprechenden Gleichungen

mit gewissen und somit ist


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Überdeckung und das Einheitsideal.


Lösung

Sei das von den erzeugte Ideal. Die Voraussetzung besagt, dass

leer ist. Dann ist , da ja ebenfalls leer ist. Aus dem Hilbertschen Nullstellensatz folgt, dass eine Potenz von , also selbst, zu in gehört. D.h. dass das Einheitsideal ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei der Einheitskreis über einem Körper und es seien und Punkte auf . Zeige, dass es einen Automorphismus mit

gibt.


Lösung

Es genügt, für die beiden Punkte und einen Automorphismus des Kreises anzugeben, der in überführt, da man den geforderten Automorphismus dann als eine Hintereinanderschaltung solcher Morphismen (bzw. des Umkehrmorphismus) erhalten kann. Wir betrachten die bijektive lineare Abbildung , die durch die Matrix

gegeben ist. Diese bildet den Punkt auf ab. Ein Punkt wird dabei auf abgebildet. Für den Bildpunkt gilt

d.h. der Bildpunkt liegt wieder auf dem Kreis. Somit induziert eine (algebraische) Abbildung . Entsprechend liefert die durch die Matrix gegebene inverse Abbildung einen inversen Morphismus, so dass insgesamt ein Automorphismus vorliegt.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein numerisches Monoid. Zeige, dass der Singularitätsgrad von mit den beiden folgenden Zahlen übereinstimmt.

  1. Die maximale Länge einer Kette von Monoiden
  2. Die maximale Länge einer Kette von -Algebren
  3. Die maximale Länge einer Kette (einer Fahne) von -Untervektorräumen


Lösung

Der Singularitätsgrad ist die Anzahl der Lücken von in , der nach [[Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Singularitätsgrad/Beziehung zur Normalisierung/Fakt|Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Singularitätsgrad/Beziehung zur Normalisierung/Fakt/Faktreferenznummer (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018))]] mit übereinstimmt.

  1. Bei einer Kette von Monoiden

    muss in jedem Schritt mindestens ein Element hinzukommen, so dass ist. Wenn man sukzessive dadurch definiert, dass man zu das größte Element hinzunimmt, das nicht zu gehört, so ist dies ein Monoid, das genau ein Element mehr als besitzt. Dieses Verfahren ergibt eine Kette der Länge wie gewünscht.

  2. Zur Kette der Länge gehört die Kette von -Algebren

    wobei die Inklusionen echt sind, da zu auch gilt. Dass es keine längeren Ketten gibt, wird allgemeiner in Teil (3) begründet.

  3. Die Algebrakette aus Teil (2) ist insbesondere eine Kette von -Untervektorräumen. Wegen

    kann es keine längeren Ketten von Untervektorräumen geben, da diese den Ketten im Restklassenraum entsprechen und es in einem Vektorraum der Dimension nur Ketten der maximalen Länge geben kann.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Schnittmultiplizität und den transversaler Schnitt.


Lösung

Es sei der lokale Ring zum (Null-)Punkt in der Ebene. Sei zunächst der Schnitt als transversal vorausgesetzt. Dann sind insbesondere beide Kurven in glatt, und ist nach Lemma 23.3 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) ein diskreter Bewertungsring. Da die Tangenten verschieden sind, können wir annehmen, dass die Tangente an durch und die Tangente an durch gegeben ist. Nach dem Beweis zu Lemma 23.3 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) ist dann eine Ortsuniformisierende von . Da die Form mit hat, ist ebenfalls eine Ortsuniformisierende in und daher ist . Daher ist die Schnittmultiplizität eins.

Für die Rückrichtung folgt aus Lemma 26.4 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)), dass die Multiplizität der beiden Kurven in eins sein muss und daher beide Kurven in glatt sind. Nehmen wir an, dass die Tangenten übereinstimmen. Dann können wir annehmen, dass sowohl als auch die Form Terme von größerem Grad besitzen. Man kann die Idealerzeuger durch ersetzen, und dabei ist . Dann erzeugt aber in nicht das maximale Ideal, und die Schnittmultiplizität kann nicht eins sein.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Multiplizität der ebenen projektiven Kurve

im Punkt sowie die (projektiven) Tangente(n) in diesem Punkt.


Lösung

Der Punkt liegt in der offenen Umgebung

so dass wir darauf die Multiplizität bestimmen können. Wir setzen also und erhalten die inhomogene Gleichung . Die homogene Zerlegung ist

Somit ist die Multiplizität gleich und ist die einzige Gleichung für eine (affine) Tangente. Die einzige projektive Tangente ist der projektive Abschluss davon, also .


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte der Fermat-Kubik

mit der Geraden .


Lösung

Es sind offenbar

Schnittpunkte der Kurve mit der Geraden. Nach dem Satz von Bezout kann es nicht mehr Schnittpunkte geben.