Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 18/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Ein Geldfälscher stellt ${}7$-, ${}11$-, ${}13$- und ${}37$-Euro-Scheine her. Wie viele volle Eurobeträge kann er mit seinen Scheinen nicht bezahlen, und was ist der größte Betrag, den er nicht begleichen kann? Bestimme die Multiplizität und die Einbettungsdimension des zugehörigen numerischen Monoids.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme für das numerische Monoid ${}M\subseteq \mathbb {N}$, das durch ${}4,7$ und ${}17$ erzeugt wird, die Einbettungsdimension, die Multiplizität, die Führungszahl und den Singularitätsgrad.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme für das numerische Monoid ${}M$, das durch ${}5,7$ und ${}9$ erzeugt wird, die Einbettungsdimension, die Multiplizität, die Führungszahl und den Singularitätsgrad.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N}$ ein numerisches Monoid, das von teilerfremden natürlichen Zahlen erzeugt sei. Zeige, dass die Einbettungsdimension maximal gleich der Multiplizität ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N}$ ein durch teilerfremde Zahlen erzeugtes numerisches Monoid, bei dem die Einbettungsdimension gleich der Multiplizität ist. Zeige, dass dann der maximale Erzeuger aus einem minimalen Erzeugendensystem größer oder gleich der Führungszahl ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel eines numerischen Monoids ${}M$ mit Multiplizität ${}3$ und Einbettungsdimension ${}3$ an, bei dem die Führungszahl prim ist und nicht zum minimalen Erzeugendensystem gehört.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ ein numerisches Monoid. Bestimme die Filter in ${}M$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ ein numerisches Monoid, das durch zwei teilerfremde Elemente ${}d>e$ erzeugt werde. Bestimme die Einbettungsdimension, die Multiplizität, die Führungszahl und den Singularitätsgrad von ${}M$.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme für das numerische Monoid ${}M$, das durch ${}3,7,9$ und ${}11$ erzeugt wird, die Einbettungsdimension, die Multiplizität, die Führungszahl und den Singularitätsgrad.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}M,N$ numerische Monoide mit ${}M\subseteq N$. Zeige, dass die zugehörige Spektrumsabbildung surjektiv ist.

Es ist dabei hilfreich, Satz 18.10 zu verwenden.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}M,N$ numerische Monoide. Für welche der numerischen Invarianten ${}\nu$ (Multiplizität, Führungszahl, Singularitätsgrad, Einbettungsdimension) folgt aus ${}M\subseteq N$ die Abschätzung ${}\nu (M)\geq \nu (N)$?

(Beweis oder Gegenbeispiel)

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ ein numerisches Monoid, das nicht isomorph zu ${}\mathbb {N}$ sei, und sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass es im Monoidring ${}K[M]$ irreduzible Elemente gibt, die nicht prim sind. Man gebe Elemente aus ${}K[M]$ mit zwei wesentlich verschiedenen Zerlegungen in irreduzible Elemente an.