Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 10/latex
\setcounter{section}{10}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $A$ eine kommutative $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{,} die als $K$-\definitionsverweis {Modul}{}{} \definitionsverweis {endlich}{}{} sei. Zeige, dass ein Element $f \in A$ genau dann eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist, wenn es ein \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $K$ und $L$ Körper, es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
und sei $A$,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ A
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
ein Zwischenring. Zeige, dass dann $A$ ebenfalls ein Körper ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Ringerweiterung}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige: Wenn $f$, aufgefasst in $S$, eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist, dann ist $f$ eine Einheit in $R$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Dann ist $M$ genau dann
\definitionsverweis {noethersch}{}{,}
wenn jede aufsteigende Kette
\mathdisp {M_0 \subseteq M_1 \subseteq M_2 \subseteq \ldots} { }
von
$R$-\definitionsverweis {Untermoduln}{}{} stationär wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $f \in R$ ein
\definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$. Zeige, dass dies zu einer
\definitionsverweis {kurzen exakten Sequenz}{}{}
\mathdisp {0\stackrel{}{\longrightarrow}R
\stackrel{\cdot f}{\longrightarrow}R
\mathdisplaybruch\stackrel{}{\longrightarrow}R/f
\stackrel{}{\longrightarrow}0} { }
von
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{}
führt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und seien
\mathl{I,J \subseteq R}{}
\definitionsverweis {Ideale}{}{.}
Zeige, dass die Sequenz
\mathdisp {0\stackrel{}{\longrightarrow}R/ I \cap J
\stackrel{}{\longrightarrow}R/I \times R/J
\mathdisplaybruch\stackrel{}{\longrightarrow}R/I+J
\stackrel{}{\longrightarrow}0} { }
mit
\mathl{r \mapsto (r,r)}{} und
\mathl{(s,t) \mapsto s-t}{}
\definitionsverweis {exakt}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei $N$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
mit
$R$-\definitionsverweis {Untermoduln}{}{}
\mathl{L \subseteq M \subseteq N}{.} Zeige, dass die
\definitionsverweis {Restklassenmoduln}{}{}
durch die
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
\mathdisp {0\stackrel{}{\longrightarrow}M/L
\stackrel{}{\longrightarrow}N/L
\mathdisplaybruch\stackrel{}{\longrightarrow}N/M
\stackrel{}{\longrightarrow}0} { }
miteinander in Beziehung stehen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} {M} {N
} {}
ein
$R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
zwischen den
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{}
\mathkor {} {M} {und} {N} {.}
Zeige, dass dies zu einer
\definitionsverweis {kurzen exakten Sequenz}{}{}
\mathdisp {0 \longrightarrow \operatorname{kern} \varphi \longrightarrow M \longrightarrow \operatorname{bild} \varphi \longrightarrow 0} { }
führt.
}
{} {}
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Der $R$-Modul
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { M }^{ * }
}
{ =} { \operatorname{Hom}_{ R } { \left( M , R \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt der
\definitionswort {duale Modul}{}
zu $M$.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, L \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, M \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, N \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
eine
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
von
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{}
\mathl{L,M,N}{.} Zeige, dass dies zu einer exakten Sequenz
\mathdisp {0 \longrightarrow { N }^{ * } \longrightarrow { M }^{ * } \longrightarrow { L }^{ * }} { }
der
\definitionsverweis {dualen Moduln}{}{}
führt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, L \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, M \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, N \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
eine
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
von
$K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathl{L,M,N}{.} Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, { N }^{ * } \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, { M }^{ * } \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, { L }^{ * } \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
der
\definitionsverweis {Dualräume}{}{}
führt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine ganze Zahl. Wir betrachten die
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
\mathdisp {0 \longrightarrow \Z \stackrel{\cdot a}{ \longrightarrow} \Z \longrightarrow \Z/(a) \longrightarrow 0} { }
von
$\Z$-\definitionsverweis {Moduln}{}{.}
Zeige, dass man die nach
Aufgabe 10.9
exakte Sequenz
\mathdisp {0 \longrightarrow { ( \Z/(a) ) }^{ * } \longrightarrow { \Z }^{ * } \longrightarrow { \Z }^{ * }} { }
bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht nach rechts durch
\mathl{\rightarrow 0}{} exakt fortsetzen kann.
}
{} {}
Die folgenden Aufgaben verwenden den Begriff des artinschen Moduls, der \anfuehrung{dual}{} zum Begriff des noetherschen Moduls ist.
Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Ein $R$-Modul $M$ heißt \definitionswort {artinsch}{,} wenn jede
absteigende Kette
\mathdisp {M_1 \supseteq M_2 \supseteq M_3 \supseteq \ldots} { }
von $R$-Untermoduln stationär wird.
Ein kommutativer Ring $R$ heißt
\definitionswortenp{artinsch}{,} wenn er als $R$-Modul artinsch ist.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $A$ ein \definitionsverweis {artinscher}{}{} Integritätsbereich. Man zeige, dass $A$ ein Körper ist. Man gebe ein Beispiel eines artinschen kommutativen Ringes, der kein Körper ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{R/ {\mathfrak a}}{.} Zeige durch ein Beispiel, dass ${\mathfrak a}$ endlich erzeugt und
\mathl{R/ {\mathfrak a}}{}
\definitionsverweis {noethersch}{}{}
sein kann, ohne dass $R$ noethersch ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mathdisp {0\stackrel{}{\longrightarrow}L
\stackrel{}{\longrightarrow}M
\mathdisplaybruch\stackrel{}{\longrightarrow}N
\stackrel{}{\longrightarrow}0} { }
eine
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
von
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{.}
Es gebe ein
$R$-\definitionsverweis {Modul-Erzeugen\-densystem}{}{}
von $L$ mit $k$ Elementen und ein $R$-Modul-Erzeugendensystem von $N$ mit $n$ Elementen. Zeige, dass es ein $R$-Modul-Erzeugendensystem von $M$ mit $k+n$ Elementen gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} $A$ eine kommutative \definitionsverweis {endliche}{}{} $R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} und $M$ ein \definitionsverweis {endlicher}{}{} $A$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Zeige, dass $M$ auch ein endlicher $R$-Modul ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mathl{f \in R}{} sei nicht
\definitionsverweis {nilpotent}{}{.}
Zeige, dass es ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
${\mathfrak p}$ mit
\mathl{f \notin {\mathfrak p}}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $\mathfrak a$ ein \definitionsverweis {Radikal}{}{} in einem kommutativen Ring. Zeige, dass $\mathfrak a$ der Durchschnitt von \definitionsverweis {Primidealen}{}{} ist.
}
{} {Eine Möglichkeit ergibt sich aus der vorstehenden Aufgabe, eine andere aus
Aufgabe 13.5
weiter unten.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{P \in K[X]}{} ein nichtkonstantes
\definitionsverweis {Polynom}{}{.}
Zeige, dass $P$ nicht
\definitionsverweis {algebraisch}{}{}
über $K$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{L=K(X)}{} der
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} des
\definitionsverweis {Polynomrings}{}{} $K[X]$. Es sei
\mathbed {M} {}
{K \subseteq M \subseteq L} {}
{M \neq K} {} {} {,} ein Zwischenkörper. Zeige, dass
\mathl{M \subseteq L}{} eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $A$ eine
\definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
$\Z$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ \subseteq }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{A/ {\mathfrak m}}{} ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
ist.
}
{} {}
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $A$ eine kommutative
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
Man nennt Elemente
\mathl{f_1 , \ldots , f_n \in A}{}
\definitionswort {algebraisch abhängig}{,}
wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom
\mathl{P \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(f_1 , \ldots , f_n)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Zeige, dass die Variablen
\mathl{X_1 , \ldots , X_n}{}
\definitionsverweis {algebraisch unabhängig}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und seien
\mathl{n+1}{} Polynome
\mathl{f_1 , \ldots , f_{n+1} \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} gegeben. Zeige, dass diese
\definitionsverweis {algebraisch abhängig}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} { { {\mathbb A}_{ K }^{ m } } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
} {}
eine
\definitionsverweis {polynomiale Abbildung}{}{}
zwischen
\definitionsverweis {affinen Räumen}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ < }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $\varphi$ nicht
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $A$ eine kommutative
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und seien
\mathl{n}{} Elemente
\mathl{f_1 , \ldots , f_{n} \in A}{} gegeben. Zeige, dass diese Elemente genau dann
\definitionsverweis {algebraisch unabhängig}{}{}
sind, wenn die von diesen Elementen
\definitionsverweis {erzeugte}{}{}
$K$-Algebra
\mathl{K[f_1 , \ldots , f_n ]}{}
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zum
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathdisp {K[X,Y]/(F)} { }
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
$K[T]$-Algebra ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien
\mathl{R,S,T}{}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und seien
\mathl{\varphi:R \rightarrow S}{} und
\mathl{\psi:S \rightarrow T}{} Ringhomomorphismen derart, dass $S$
\definitionsverweis {endlich}{}{}
über $R$ und $T$ endlich über $S$ ist. Zeige, dass dann auch $T$ endlich über $R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Sei $A$ ein kommutativer Ring und sei
\mathdisp {0 \longrightarrow M \longrightarrow N \longrightarrow P \longrightarrow 0} { }
eine
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
von $A$-Moduln. Man zeige, dass $N$ genau dann artinsch ist, wenn $M$ und $P$ artinsch sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M_i$,
\mathl{i \in \N}{,} seien $R$-Moduln mit fixierten
$R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismen}{}{}
\maabbdisp {\varphi_i} {M_i} {M_{i+1}
} {.}
Die Sequenz
\mathdisp {\ldots \longrightarrow M_i \longrightarrow M_{i+1} \longrightarrow M_{i+2} \longrightarrow M_{i+3} \longrightarrow \ldots} { }
heißt
\definitionswortenp{exakt}{,} wenn für alle $i$ gilt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Kern} \,(\varphi_{i})
}
{ = }{ \operatorname{Bild} \, (\varphi_{i-1})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass diese Definition im Falle einer kurzen exakten Sequenz mit der
Definition 10.2 in der Vorlesung
übereinstimmt.
} {Es sei nun
\mathl{R= K}{} ein Körper, die $M_i$ seien endlich erzeugt,
\mathl{M_0 = 0}{} und alle
\mathl{M_i =0}{} für
\mathl{i \geq n}{} für ein gewisses $n$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 0}^{n} (-1)^i \operatorname{dim}_K M_i
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $A$ eine \definitionsverweis {endliche}{}{} $K$-Algebra. Zeige: Dann ist $A$ \definitionsverweis {artinsch}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Zeige: Wenn $M$
\definitionsverweis {artinsch}{}{} und
\mathl{\phi: M \to M}{} $R$-linear und injektiv ist, so ist $\phi$ ein Isomorphismus. Formuliere und beweise auch eine analoge Aussage für den Fall, das $M$ noethersch ist.
}
{} {}
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