Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 11

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und . Zeige, dass genau dann gilt, wenn es eine natürliche Zahl und ein mit gibt. Betrachte auch die Spezialfälle, wo bzw. konstante Polynome sind.


Aufgabe

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Beweise den Hilbertschen Nullstellensatz direkt für den Polynomring in einer Variablen.


Aufgabe

Zeige, dass sich in der durch den Hilbertschen Nullstellensatz gegebenen Korrespondenz Punkte und maximale Ideale entsprechen.


Aufgabe

In der durch den Hilbertschen Nullstellensatz gegebenen Korrespondenz irreduzible Varietäten und Primideale entsprechen.


Aufgabe

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Beweise den folgenden Spezialfall des Hilbertschen Nullstellensatzes direkt: Wenn keine Nullstelle im besitzt, so ist ein (von verschiedenes) konstantes Polynom.


Aufgabe *

Wir betrachten die beiden Polynome und und die zugehörigen algebraischen Kurven über den Körpern und .

  1. Gilt in ?
  2. Gilt in ?
  3. Gehört zum Radikal von in ?
  4. Gehört zum Radikal von in ?


Aufgabe

Es seien Polynome gegeben, die wir als Funktionen

auffassen. Es sei ein weiteres Polynom und es seien

Funktionen, die nicht unbedingt Polynome sind. Es gelte

(eine Gleichung von Funktionen). Zeige, dass zum Radikal von gehört.


Aufgabe

Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Funktionen der Form

mit Polynomen und nullstellenfrei auf einen kommutativen Ring bilden. Zeige, dass bei algebraisch abgeschlossen dieser mit dem Polynomring übereinstimmt.


Aufgabe

Es sei ein endlicher Körper. Zeige, dass es nur endlich viele Nullstellengebilde im gibt, aber unendlich viele Radikale in .


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei , , eine Familie von Elementen in . Es sei angenommen, dass die zusammen das Einheitsideal erzeugen. Zeige, dass es eine endliche Teilfamilie , gibt, die ebenfalls das Einheitsideal erzeugt.


Aufgabe

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien zwei Radikalideale. Zeige, dass die Nullstellengebilde und genau dann affin-linear äquivalent sind, wenn es eine affin-lineare Variablentransformation gibt, die die beiden Ideale ineinander überführt.


Es sei

ein Ringhomomorphismus zwischen den kommutativen Ringen und . Zu einem Ideal nennt man das von erzeugte Ideal das Erweiterungsideal von unter . Es wird mit bezeichnet.


Aufgabe

Es sei ein Ideal und . Zeige, dass genau dann gilt, wenn für das Erweiterungsideal gilt.


Aufgabe

Skizziere die Graphen der Funktionen und auf .

Man mache sich klar, dass das Produkt die Nullfunktion ist.

Aufgabe

Bestimme den Koordinatenring zu einer affin-algebraischen Menge , die aus Punkten besteht.


Aufgabe

Bestimme den Koordinatenring zur affin-algebraischen Menge .


Aufgabe

Betrachte die Hyperbel über dem Körper . Bestimme das Inverse von im zugehörigen Koordinatenring.


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien zwei affin-algebraische Mengen. Es sei vorausgesetzt. Man definiere einen -Algebrahomomorphismus zwischen den beiden Koordinatenringen und und beschreibe dessen wichtigste Eigenschaften. Man gebe ein Beispiel von zwei affin-algebraischen Mengen, die nicht ineinander enthalten sind, von denen aber die Koordinatenringe isomorph sind.


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien

Ideale, deren Radikal übereinstimmt. Zeige, dass es eine natürliche Bijektion zwischen den Radikalen der Restklassenringe und gibt.


Aufgabe

Es sei ein Körper mit Elementen und sei eine affin-algebraische Menge. Zeige, dass der Koordinatenring von nicht gleich sein muss.


Aufgabe

Es sei ein Körper der Charakteristik . Wir betrachten den Schnitt von einem Zylinder und einer Kugel, und zwar

Zeige, dass man den Koordinatenring von als Restklassenring eines Polynomrings in zwei Variablen schreiben kann.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Sei und sei eine Teilmenge, die in der metrischen Topologie offen und nicht leer sei. Es sei die Nullfunktion. Zeige, dass dann das Nullpolynom ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise Korollar 11.3 direkt aus Satz 10.10.


Aufgabe (7 Punkte)

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und der Polynomring in Variablen über . Wir wollen einen alternativen Beweis einsehen, dass für jedes Ideal in ist, der auf Korollar 11.3 aufbaut. Sei . Betrachte den Ring und zeige, dass das Ideal

trivial ist. Schließe daraus, dass im Radikal von liegt.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei und betrachte die dadurch definierte polynomiale Abbildung

die eine Bijektion des affinen Raumes mit dem Graphen von definiert. Zu einer affin-algebraischen Menge betrachten wir das Bild . Man zeige, dass ebenfalls affin-algebraisch ist und man gebe ein beschreibendes Ideal an. Zeige, dass genau dann irreduzibel ist, wenn irreduzibel ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die beiden algebraischen Kurven

über dem Körper . Zeige, dass der Durchschnitt leer ist, und finde einen Erweiterungskörper , über dem der Durchschnitt nicht leer ist. Berechne alle Punkte im Durchschnitt über und über jedem anderen Erweiterungskörper. Man beschreibe auch den Koordinatenring des Durchschnitts.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper und seien endlich viele Punkte in der affinen Ebene . Es seien beliebig vorgegebene Werte. Zeige, dass es ein Polynom mit für alle gibt.



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