Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 11/latex
\setcounter{section}{11}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und
\mathl{f,g \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{.} Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V(f)
}
{ \subseteq }{ V(g)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn es eine natürliche Zahl $r$ und ein
\mathl{h \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{fh
}
{ = }{g^r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt. Betrachte auch die Spezialfälle, wo
\mathkor {} {f} {bzw.} {g} {}
konstante Polynome sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{.} Beweise den Hilbertschen Nullstellensatz direkt für den \definitionsverweis {Polynomring}{}{} in einer Variablen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass sich in der durch den Hilbertschen Nullstellensatz gegebenen Korrespondenz Punkte und \definitionsverweis {maximale Ideale}{}{} entsprechen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
In der durch den Hilbertschen Nullstellensatz gegebenen Korrespondenz \definitionsverweis {irreduzible Varietäten}{}{} und \definitionsverweis {Primideale}{}{} entsprechen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{.}
Beweise den folgenden Spezialfall
des Hilbertschen Nullstellensatzes
direkt: Wenn
\mathl{f \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} keine Nullstelle im $K^n$ besitzt, so ist $f$ ein
\zusatzklammer {von $0$ verschiedenes} {} {}
konstantes Polynom.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die beiden Polynome
\mathl{X^2+Y^2}{} und
\mathl{X^2-Y^3}{} und die zugehörigen algebraischen Kurven über den Körpern $\R$ und ${\mathbb C}$.
\aufzaehlungvier{Gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V(X^2+Y^2)
}
{ \subseteq }{ V(X^2-Y^3)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in ${\mathbb A}^{2}_{\R}$?
}{Gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V(X^2+Y^2)
}
{ \subseteq }{ V(X^2-Y^3)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in ${\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}}$?
}{Gehört
\mathl{X^2-Y^3}{} zum
\definitionsverweis {Radikal}{}{}
von
\mathl{(X^2+Y^2)}{} in
\mathl{\R[X,Y]}{?}
}{Gehört
\mathl{X^2-Y^3}{} zum Radikal von
\mathl{(X^2+Y^2)}{} in
\mathl{{\mathbb C}[X,Y]}{?}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\definitionsverweis {Polynome}{}{}
\mathl{f_1 , \ldots , f_k \in {\mathbb C}[X_1 , \ldots , X_n]}{} gegeben, die wir als
\definitionsverweis {Funktionen}{}{}
\maabbdisp {f_i} {{\mathbb C}^n} {{\mathbb C}
} {}
auffassen. Es sei
\mathl{f \in {\mathbb C}[X_1 , \ldots , X_n]}{} ein weiteres Polynom und es seien
\maabbdisp {g_1 , \ldots , g_k} {{\mathbb C}^n} {{\mathbb C}
} {}
Funktionen, die nicht unbedingt Polynome sind. Es gelte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} { g_1f_1 + \cdots + g_kf_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {eine Gleichung von Funktionen} {} {.}
Zeige, dass $f$ zum
\definitionsverweis {Radikal}{}{}
von
\mathl{(f_1 , \ldots , f_k)}{} gehört.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass die Funktionen
\maabb {\varphi} {K^n} {K
} {}
der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ =} { { \frac{ P }{ Q } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\definitionsverweis {Polynomen}{}{}
\mathl{P,Q \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} und $Q$ nullstellenfrei auf $K^n$ einen
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
bilden. Zeige, dass bei $K$
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{}
dieser mit dem Polynomring übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{.}
Zeige, dass es nur endlich viele
\definitionsverweis {Nullstellengebilde}{}{}
im
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} gibt, aber unendlich viele
\definitionsverweis {Radikale}{}{}
in
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei $f_j$,
\mathl{j \in J}{,} eine Familie von Elementen in $R$. Es sei angenommen, dass die $f_j$ zusammen das
\definitionsverweis {Einheitsideal}{}{} erzeugen. Zeige, dass es eine endliche Teilfamilie $f_j$,
\mathl{j \in J_0 \subseteq J}{} gibt, die ebenfalls das Einheitsideal erzeugt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien
\mathl{\mathfrak a, \mathfrak b \subseteq K[X_1, \ldots, X_n]}{} zwei \definitionsverweis {Radikalideale}{}{.}
Zeige, dass die Nullstellengebilde $V(\mathfrak a)$ und $V(\mathfrak b)$ genau dann
\definitionsverweis {affin-linear äquivalent}{}{}
sind, wenn es eine affin-lineare Variablentransformation gibt, die die beiden Ideale ineinander überführt.
}
{} {}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {A} {B
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{}
\mathkor {} {A} {und} {B} {.}
Zu einem
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq A}{} nennt man das von
\mathl{\varphi { \left( {\mathfrak a} \right) }}{}
\definitionsverweis {erzeugte Ideal}{}{}
das
\definitionswort {Erweiterungsideal}{}
von ${\mathfrak a}$ unter $\varphi$. Es wird mit
\mathl{{\mathfrak a} B}{} bezeichnet.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ \R[X_1 , \ldots , X_n ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
und
\mathl{f \in \R[X_1 , \ldots , X_n ]}{.} Zeige, dass genau dann
\mathl{f \in {\mathfrak a}}{} gilt, wenn
\mathl{f \in {\mathfrak a} {\mathbb C}[X_1 , \ldots , X_n ]}{} für das
\definitionsverweis {Erweiterungsideal}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere die Graphen der Funktionen $x$ und $y$ auf $V(xy)$.
}
{Man mache sich klar, dass das Produkt $xy$ die Nullfunktion ist.} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Koordinatenring}{}{}
zu einer
\definitionsverweis {affin-algebraischen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die aus $d$ Punkten besteht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Koordinatenring}{}{}
zur
\definitionsverweis {affin-algebraischen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{ V(5X-8Y +3)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die Hyperbel
\mathl{V(xy-1)}{} über dem Körper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \Z/(11)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme das Inverse von $4x^3$ im zugehörigen Koordinatenring.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein Körper und
\mathl{V,W \subseteq { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} seien zwei affin-algebraische Mengen. Es sei
\mathl{V \subseteq W}{} vorausgesetzt. Man definiere einen
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
zwischen den beiden
\definitionsverweis {Koordinatenringen}{}{}
$R(V)$ und $R(W)$ und beschreibe dessen wichtigste Eigenschaften. Man gebe ein Beispiel von zwei affin-algebraischen Mengen, die nicht ineinander enthalten sind, von denen aber die Koordinatenringe isomorph sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} , {\mathfrak b}
}
{ \subseteq} { K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Ideale}{}{,}
deren
\definitionsverweis {Radikal}{}{}
übereinstimmt. Zeige, dass es eine natürliche Bijektion zwischen den Radikalen der
\definitionsverweis {Restklassenringe}{}{}
\mathkor {} {K[X_1 , \ldots , X_n]/ {\mathfrak a}} {und} {K[X_1 , \ldots , X_n]/ {\mathfrak b}} {}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein Körper mit $q$ Elementen und sei
\mathl{V =V( {\mathfrak a} ) \subseteq { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} eine
\definitionsverweis {affin-algebraische Menge}{}{.} Zeige, dass der
\definitionsverweis {Koordinatenring}{}{} von $V$ nicht gleich
\mathl{K[x_1 , \ldots , x_n]/(x_1^q-x_1 , \ldots , x_n^q-x_n) + {\mathfrak a}}{} sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$. Wir betrachten den Schnitt von einem Zylinder und einer Kugel, und zwar
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} {V(X^2+Y^2-1) \cap V((X-3)^2 +Y^2+Z^2-7)
}
{ \subseteq} {{ {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass man den
\definitionsverweis {Koordinatenring}{}{}
von $C$ als
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
eines
\definitionsverweis {Polynomrings}{}{}
in zwei Variablen schreiben kann.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathl{F \in \mathbb C[X_1, \ldots, X_n]}{} und sei
\mathl{U \subseteq \mathbb A^n_{\mathbb C}}{} eine Teilmenge, die in der metrischen Topologie offen und nicht leer sei. Es sei
\mathl{F|_{ U}=0}{} die Nullfunktion. Zeige, dass dann $F$ das Nullpolynom ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Beweise Korollar 11.3 direkt aus Satz 10.10.
}
{} {}
\inputaufgabe
{7}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und $R$ der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
in $n$ Variablen über $K$. Wir wollen einen alternativen Beweis einsehen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Id} \, (V(J))
}
{ = }{ \operatorname{rad} \, (J)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für jedes Ideal $J$ in $R$ ist, der auf
Korollar 11.3
aufbaut. Es sei
\mathl{f \in \operatorname{Id}\,(V(J))}{.} Betrachte den Ring $R[T]$ und zeige, dass das
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ J'
}
{ =} { (J, 1 -f \cdot T)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
trivial ist. Schließe daraus, dass $f$ im Radikal von $J$ liegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und betrachte die dadurch definierte
\definitionsverweis {polynomiale Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } } {{ {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } }
} {(x_1 , \ldots , x_n)} {(x_1 , \ldots , x_n, F(x_1 , \ldots , x_n))
} {,}
die eine Bijektion des
\definitionsverweis {affinen Raumes}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Graphen}{}{}
von $F$ definiert. Zu einer
\definitionsverweis {affin-algebraischen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V( {\mathfrak a} )
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
betrachten wir das Bild
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V'
}
{ = }{ \varphi(V)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Man zeige, dass $V'$ ebenfalls affin-algebraisch ist und man gebe ein beschreibendes Ideal an. Zeige, dass $V$ genau dann
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist, wenn $V'$ irreduzibel ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Wir betrachten die beiden algebraischen Kurven
\mathdisp {V(x^2+y^2-2) \text{ und } V(x^2+2y^2-1)} { }
über dem Körper $\Z/(7)$. Zeige, dass der Durchschnitt leer ist, und finde einen Erweiterungskörper
\mathl{K \supseteq \Z/(7)}{,} über dem der Durchschnitt nicht leer ist. Berechne alle Punkte im Durchschnitt über $K$ und über jedem anderen Erweiterungskörper. Man beschreibe auch den Koordinatenring des Durchschnitts.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} endlich viele Punkte in der affinen Ebene ${\mathbb A}^{2}_{K}$. Es seien
\mathl{a_1, \ldots , a_n \in K}{} beliebig vorgegebene Werte. Zeige, dass es ein Polynom
\mathl{F \in K[X,Y]}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(P_i)
}
{ = }{a_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{i=1, \ldots , n}{} gibt.
}
{} {}
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