Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 12

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme das -Spektrum von .


Aufgabe

Bestimme das -Spektrum von .


Aufgabe

Bestimme das -Spektrum der -Algebra .


Aufgabe

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und eine kommutative -Algebra von endlichem Typ. Zeige, dass die Punkte aus den maximalen Idealen in entsprechen.


Aufgabe

Sei eine kommutative -Algebra von endlichem Typ. Zeige, dass für jedes Ideal in die Gleichheit

gilt.


Aufgabe

Zeige, dass die Zariski-Topologie auf dem -Spektrum einer endlich erzeugten kommutativen -Algebra wirklich eine Topologie ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei eine affin-algebraische Menge mit Verschwindungsideal und Koordinatenring

Zeige, dass das -Spektrum von homöomorph zu ist.


Aufgabe

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine -Algebra von endlichem Typ. Beweise, dass zwischen den abgeschlossenen Teilmengen des -Spektrums und den Radikalen in eine bijektive Korrespondenz besteht.


Aufgabe

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine reduzierte -Algebra von endlichem Typ. Beweise den Identitätssatz in der folgenden Gestalt: Wenn für gilt, dass ist für alle , so ist .


Aufgabe

Man beschreibe zu einer kommutativen -Algebra von endlichem Typ die Spektrumsabbildung, die zum Strukturhomomorphismus der Algebra gehört.


Aufgabe

Seien kommutative -Algebren von endlichem Typ und und seien -Algebrahomomorphismen. Man zeige, dass für die zugehörigen Spektrumsabbildungen

gilt. Ferner zeige man, dass zur Identität auch die Identität ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel von zwei kommutativen -Algebren von endlichem Typ und einer stetigen Abbildung zwischen den zugehörigen -Spektren, die nicht von einem -Algebrahomomorphismus herrühren kann.


Aufgabe

Sei ein Körper und eine kommutative -Algebra von endlichem Typ, und sei . Es sei

die zum Einsetzungshomomorphismus gehörende Spektrumsabbildung. Zeige, dass

ist.


Aufgabe

Sei ein Körper und sei eine kommutative -Algebra von endlichem Typ mit der Reduktion . Zeige, dass es eine natürliche Homöomorphie

gibt.


Aufgabe *

Sei ein Körper, eine endlich erzeugte -Algebra, sei ein Ideal und sei . In welcher Beziehung stehen die beiden Aussagen

und die beiden Aussagen

zueinander. Zeige, dass die Antwort davon abhängt, ob algebraisch abgeschlossen ist oder nicht.


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien Polynome für . Es sei

der zugehörige Einsetzungshomomorphismus. Zeige, dass die Spektrumsabbildung

(über die Identifizierung aus Lemma 12.3) mit der direkten polynomialen Abbildung

übereinstimmt.


Aufgabe

Welche „Funktoren“ in der Mathematik kennen Sie?


Bei den folgenden Aufgaben betrachten wir zu einem beliebigen topologischen Raum (Mannigfaltigkeit, Teilmenge des , reelles Intervall) den Ring der stetigen reellwertigen Funktionen darauf. Dabei sollte man die Räume in Analogie zu den -Spektren und die Funktionenringe in Analogie zu den (Koordinaten)- ringen sehen.

Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und

Zeige, dass ein kommutativer Ring ist.


Aufgabe

Wir betrachten den Ring der stetigen Funktionen von nach . Handelt es sich um einen Integritätsbereich?


Aufgabe

Es sei eine Teilmenge. Zeige, dass im Ring der stetigen Funktionen

die Teilmenge

ein Ideal in ist.


Aufgabe

Wir betrachten das Ideal zu im Sinne von Aufgabe 12.20. Ist dies ein Hauptideal?


Aufgabe

Sei ein topologischer Raum und der Ring der stetigen Funktionen auf . Es sei eine Teilmenge. Zeige, dass die Teilmenge

ein Ideal in ist. Definiere einen Ringhomomorphismus

Ist dieser immer injektiv? Surjektiv?


Aufgabe

Es seien und topologische Räume und

eine stetige Abbildung. Zeige, dass dies einen Ringhomomorphismus

induziert.


Aufgabe

Sei eine Teilmenge von und der Ring der stetigen Funktionen von nach . Dann ist durch

ein Ringhomomorphismus gegeben.

  1. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn abgeschlossen ist.
  2. Für welche Mengen ist injektiv?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein unendlicher Körper und eine kommutative -Algebra von endlichem Typ, und sei . Es sei

die zum Einsetzungshomomorphismus gehörende Spektrumsabbildung Zeige, dass genau dann konstant ist, wenn konstant ist.

Man mache sich dabei auch die unterschiedlichen Bedeutungen von „konstant“ klar.

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel von zwei integren -Algebren von endlichem Typ und und einem -Algebrahomomorphismus , der kein Ringisomorphismus ist, wo aber die induzierte Spektrumsabbildung ein Homöomorphismus ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien und integre -Algebren von endlichem Typ. Es sei ein endlicher injektiver -Algebrahomomorphismus. Zeige, dass dann surjektiv ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik . Es sei eine polynomiale Abbildung der Form

gegeben (mit ) Zeige, dass genau dann injektiv ist, wenn die Form hat

mit , ungerade und ein Polynom, in dem nur geradzahlige Exponenten auftreten.


Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte das Ideal

und das zugehörige Nullstellengebilde . Zeige, dass zum Radikal von gehört. Zeige damit, dass isomorph zu einer ebenen algebraischen Kurve ist.

Man benutze, dass das Radikal der Durchschnitt der Primideale ist, die es umfassen.

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