Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 12

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme das ${}\mathbb {R}$- Spektrum von ${}\mathbb {R} [X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)$.

Aufgabe

Bestimme das ${}K$- Spektrum von ${}K^{n}$.

Aufgabe

Bestimme das ${}\mathbb {R}$- Spektrum der ${}\mathbb {R}$- Algebra ${}{\mathbb {C} }$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}R$ eine kommutative ${}K$- Algebra von endlichem Typ. Zeige, dass die Punkte aus ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ den maximalen Idealen in ${}R$ entsprechen.

Aufgabe

Es sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra von endlichem Typ. Zeige, dass für jedes Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ in ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ die Gleichheit

${}V({\mathfrak {a}})=V(\operatorname {rad} \,({\mathfrak {a}}))\,$

gilt.

Aufgabe

Zeige, dass die Zariski-Topologie auf dem ${}K$-Spektrum einer endlich erzeugten kommutativen ${}K$-Algebra ${}R$ wirklich eine Topologie ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge mit Verschwindungsideal ${}\operatorname {Id} \,{\left(V\right)}$ und Koordinatenring

${}R:=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,{\left(V\right)}\,.$

Zeige, dass das ${}K$- Spektrum von ${}R$ homöomorph zu ${}V$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}R$ eine ${}K$- Algebra von endlichem Typ. Beweise, dass zwischen den abgeschlossenen Teilmengen des ${}K$- Spektrums ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ und den Radikalen in ${}R$ eine bijektive Korrespondenz besteht.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}R$ eine reduzierte ${}K$- Algebra von endlichem Typ. Beweise den Identitätssatz in der folgenden Gestalt: Wenn für ${}f,g\in R$ gilt, dass ${}f(P)=g(P)$ ist für alle ${}P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$, so ist ${}f=g$.

Aufgabe

Man beschreibe zu einer kommutativen ${}K$- Algebra ${}R$ von endlichem Typ die Spektrumsabbildung, die zum Strukturhomomorphismus der Algebra gehört.

Aufgabe

Es seien ${}R,S,T$ kommutative ${}K$- Algebren von endlichem Typ und ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ und ${}\psi \colon S\rightarrow T$ seien ${}K$- Algebrahomomorphismen. Man zeige, dass für die zugehörigen Spektrumsabbildungen

${}(\psi \circ \varphi )^{*}=\varphi ^{*}\circ \psi ^{*}\,$

gilt. Ferner zeige man, dass zur Identität ${}\operatorname {Id} \colon R\rightarrow R$ auch ${}\operatorname {Id} ^{*}$ die Identität ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel von zwei kommutativen ${}K$- Algebren ${}R,S$ von endlichem Typ und einer stetigen Abbildung zwischen den zugehörigen ${}K$- Spektren, die nicht von einem ${}K$- Algebrahomomorphismus herrühren kann.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R$ eine kommutative ${}K$- Algebra von endlichem Typ, und sei ${}F\in R$. Es sei

$\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}$

die zum Einsetzungshomomorphismus gehörende Spektrumsabbildung. Zeige, dass

${}(\varphi ^{*})^{-1}(0)=V(F)\,$

ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra von endlichem Typ mit der Reduktion ${}S=R_{\rm {red}}$. Zeige, dass es eine natürliche Homöomorphie

${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\cong K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\,$

gibt.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}R$ eine endlich erzeugte ${}K$-Algebra, sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und sei ${}X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$. In welcher Beziehung stehen die beiden Aussagen

$V({\mathfrak {a}})=\emptyset {\text{ und }}{\mathfrak {a}}{\text{ ist das Einheitsideal}}$

und die beiden Aussagen

$V({\mathfrak {a}})=X{\text{ und }}{\mathfrak {a}}{\text{ ist nilpotent}}$

zueinander. Zeige, dass die Antwort davon abhängt, ob ${}K$ algebraisch abgeschlossen ist oder nicht.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}F_{i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ Polynome für ${}i=1,\ldots ,m$. Es sei

$\varphi \colon K[Y_{1},\ldots ,Y_{m}]\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}],\,Y_{i}\longmapsto F_{i},$

der zugehörige Einsetzungshomomorphismus. Zeige, dass die Spektrumsabbildung

$\varphi ^{*}\colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[Y_{1},\ldots ,Y_{m}]\right)}$

(über die Identifizierung aus Lemma 12.3) mit der direkten polynomialen Abbildung

$(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,F_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n}))$

übereinstimmt.

Aufgabe

Welche „Funktoren“ in der Mathematik kennen Sie?

Bei den folgenden Aufgaben betrachten wir zu einem beliebigen topologischen Raum (Mannigfaltigkeit, Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{n}$, reelles Intervall) den Ring der stetigen reellwertigen Funktionen darauf. Dabei sollte man die Räume in Analogie zu den ${}K$-Spektren und die Funktionenringe in Analogie zu den (Koordinaten)- ringen sehen.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und

${}R=C(X,\mathbb {R} )={\left\{f:X\longrightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetige Abbildung}}\right\}}\,.$

Zeige, dass ${}R$ ein kommutativer Ring ist.

Aufgabe

Wir betrachten den Ring ${}R=C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ der stetigen Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$. Handelt es sich um einen Integritätsbereich?

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge. Zeige, dass im Ring der stetigen Funktionen

${}R=C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )\,$

die Teilmenge

${}I={\left\{f\in R\mid f(x)=0{\text{ für alle }}x\in T\right\}}\,$

ein Ideal in ${}R$ ist.

Aufgabe

Wir betrachten das Ideal zu ${}T=\{0\}\subseteq \mathbb {R}$ im Sinne von Aufgabe 12.20. Ist dies ein Hauptideal?

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}R=\operatorname {C} ^{0}\,(X,\mathbb {R} )$ der Ring der stetigen Funktionen auf ${}X$. Es sei ${}T\subseteq X$ eine Teilmenge. Zeige, dass die Teilmenge

${}I={\left\{f\in R\mid f\vert _{T}=0\right\}}\,$

ein Ideal in ${}R$ ist. Definiere einen Ringhomomorphismus

$R/I\longrightarrow \operatorname {C} ^{0}\,(T,\mathbb {R} ).$

Ist dieser immer injektiv? Surjektiv?

Aufgabe

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume und

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

eine stetige Abbildung. Zeige, dass dies einen Ringhomomorphismus

$C(Y,\mathbb {R} )\longrightarrow C(X,\mathbb {R} ),\,f\longmapsto f\circ \varphi ,$

induziert.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine Teilmenge von ${}\mathbb {R}$ und ${}C(X,\mathbb {R} )$ der Ring der stetigen Funktionen von ${}X$ nach ${}\mathbb {R}$. Dann ist durch

$\varphi \colon C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )\longrightarrow C(X,\mathbb {R} ),\,f\longmapsto f\vert _{X},$

ein Ringhomomorphismus gegeben.

1. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn ${}X$ abgeschlossen ist.
2. Für welche Mengen ${}X$ ist ${}\varphi$ injektiv?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper und ${}R$ eine kommutative ${}K$- Algebra von endlichem Typ, und sei ${}F\in R$. Es sei

$\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}$

die zum Einsetzungshomomorphismus gehörende Spektrumsabbildung Zeige, dass ${}F$ genau dann konstant ist, wenn ${}\varphi ^{*}$ konstant ist.

Man mache sich dabei auch die unterschiedlichen Bedeutungen von „konstant“ klar.

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel von zwei integren ${}K$- Algebren von endlichem Typ ${}R$ und ${}S$ und einem ${}K$- Algebrahomomorphismus ${}\varphi \colon R\rightarrow S$, der kein Ringisomorphismus ist, wo aber die induzierte Spektrumsabbildung ${}\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\rightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ ein Homöomorphismus ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}R$ und ${}S$ integre ${}K$-Algebren von endlichem Typ. Es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein endlicher injektiver ${}K$-Algebrahomomorphismus. Zeige, dass dann ${}\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\rightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ surjektiv ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}0$. Es sei eine polynomiale Abbildung der Form

$\varphi \colon {\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,t\longmapsto (t^{2},\psi (t)),$

gegeben (mit ${}\psi (t)\in K[t]$) Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann injektiv ist, wenn ${}\psi$ die Form hat

${}\psi (t)=at^{n}+\theta (t)\,$

mit ${}a\neq 0$, ${}n$ ungerade und ${}\theta (t)$ ein Polynom, in dem nur geradzahlige Exponenten auftreten.

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte das Ideal

${}{\mathfrak {a}}={\left(U^{5}-V^{3},U^{11}-W^{3},V^{11}-W^{5}\right)}\subseteq K[U,V,W]\,$

und das zugehörige Nullstellengebilde ${}Z=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$. Zeige, dass ${}W-U^{2}V$ zum Radikal von ${}{\mathfrak {a}}$ gehört. Zeige damit, dass ${}Z$ isomorph zu einer ebenen algebraischen Kurve ist.

Man benutze, dass das Radikal der Durchschnitt der Primideale ist, die es umfassen.