Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 14/latex

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\setcounter{section}{14}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass jede \definitionsverweis {algebraische Funktion}{}{} $f$ auf einer offenen Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ =} {D(F) }
{ \subseteq} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } }
{ =} { {\mathbb A}^{1}_{K} }
{ } { }
} {}{}{} die Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ = }{ G/H }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit nicht kürzbaren
\mathl{G,H \in R}{} und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D(F) }
{ \subseteq }{ D(H) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und sei $R$ eine $K$-\definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{,} die ein \definitionsverweis {faktorieller}{}{} \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} sei. Zeige, dass jede \definitionsverweis {algebraische Funktion}{}{} $f$ auf einer offenen Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ = }{ G/H }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit nicht kürzbaren
\mathl{G,H \in R}{} und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{ D(H) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Ergänze den Beweis zu Lemma 14.4.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der Ring $\Gamma (U, {\mathcal O} )$ \definitionsverweis {reduziert}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{.} Wir betrachten den Punkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} { (0,1) }
{ =} { V(X^3-Y^3+1) }
{ =} { C }
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{K} }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \defeq }{ C \setminus \{P\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Beschreibe eine \definitionsverweis {algebraische Funktion}{}{} auf $U$, die sich nicht zu einer algebraischen Funktion auf ganz $C$ ausdehnen lässt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Neilsche Parabel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} {V(Y^2-X^3) }
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{K} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und den Punkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} {(1,1) }
{ \in} {C }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Finde eine \definitionsverweis {algebraische Funktion}{}{,} die auf
\mathl{C \setminus \{P\}}{} definiert ist, aber nicht auf ganz $C$. Tipp: Finde unterschiedliche Faktorzerlegungen von
\mathl{X^3-X^2}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und sei $R$ eine $K$-\definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{,} die ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} sei. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ = }{ D( {\mathfrak a} ) }
{ \subseteq }{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Menge}{}{} zu einem \definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ = }{ (f_1 , \ldots , f_n) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass für den Ring der \definitionsverweis {algebraischen Funktionen}{}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma (U, {\mathcal O} ) }
{ =} { \bigcap_{i = 1}^n R_{f_i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt, wobei der Durchschnitt im \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} genommen wird.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Sei
\mathl{U \subseteq K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} eine offene Teilmenge und \maabb {f} {U} {K } {} eine Funktion. Es sei
\mathl{U=\bigcup_{i \in I}U_i}{} eine offene Überdeckung mit der Eigenschaft, dass die Einschränkungen
\mathl{f_i=f\!\mid_{U_i}}{} algebraische Funktionen sind. Zeige, dass dann $f$ selbst algebraisch ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und sei $R$ eine $K$-\definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{,} die ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} sei. Zeige, dass zu \definitionsverweis {offenen Mengen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Restriktionsabbildung}{}{} \maabbdisp {} { \Gamma (V, {\mathcal O} ) } { \Gamma (U, {\mathcal O} ) } {} \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Betrachte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V }
{ = }{ V(XW-YZ) }
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ 4 } } }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Beschreibe eine offene Menge
\mathl{U \subseteq { {\mathbb A}_{ K }^{ 4 } }}{} derart, dass der zu
\mathl{U \cap V \subseteq U}{} gehörende Ringhomomorphismus \maabbdisp {} { \Gamma (U, {\mathcal O} )} { \Gamma (U \cap V, {\mathcal O} ) } {} nicht surjektiv ist.

}
{} {}

In der folgenden Aufgabe wird das Konzept des \definitionsverweis {Limes einer Abbildung}{}{} verwendet. Dabei könnte Aufgabe 1.6 hilfreich sein.


\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} {V(Y^2-X^2-X^3) }
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebene Kurve, den Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{ (0,0) }
{ \in }{C }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und das offene Komplement
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ = }{C \setminus \{P\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass
\mathl{{ \frac{ Y }{ X } }}{} eine \definitionsverweis {algebraische Funktion}{}{} auf $U$ ist, die nicht auf ganz $C$ algebraisch ausdehnbar ist. }{Zeige, dass der \definitionsverweis {Abbildungslimes}{}{} zur Funktion \maabbdisp {\varphi = { \frac{ Y }{ X } }} {U} { {\mathbb C} } {} nicht existiert. }{Zeige, dass es \definitionsverweis {Folgen}{}{}
\mathl{{ \left( w_n \right) }_{n \in \N }}{} und
\mathl{{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }}{} in $U$ gibt, die beide gegen $P$ \definitionsverweis {konvergieren}{}{,} für die die \definitionsverweis {Bildfolgen}{}{} unter $\varphi$ jeweils konvergieren, aber gegen unterschiedliche Werte. }

}
{} {}

Wir kommen zu einer Reihe von äußerst wichtigen Begriffen, die wesentliche Eigenschaften der Strukturgarbe auf einem $K$-Spektrum prägnant zusammenfassen.


Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.} Unter einer \definitionswort {Prägarbe}{} ${ \mathcal F }$ auf $X$ versteht man eine Zuordnung, die jeder \definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Menge ${ \mathcal F } { \left( U \right) }$ und zu je zwei offenen Mengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbdisp {\rho_{V,U}} { { \mathcal F } { \left( V \right) } } { { \mathcal F } { \left( U \right) } } {} zuordnet, wobei diese Zuordnung die beiden folgenden Bedingungen erfüllen muss. \aufzaehlungzwei {Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ = }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \rho_{U,U} }
{ =} { \operatorname{Id}_{ { \mathcal F } { \left( U \right) } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} } {Zu offenen Mengen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq} {V }
{ \subseteq} {W }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist stets
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \rho_{W,U} }
{ =} { \rho_{V,U} \circ \rho_{W,V} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }


Die Abbildungen $\rho_{V,U}$ heißen dabei \stichwort {Restriktionsabbildungen} {.}


Eine \definitionsverweis {Prägarbe}{}{} ${ \mathcal F }$ auf einem \definitionsverweis {topologischen Raum}{}{} $X$ heißt \definitionswort {Prägarbe von Gruppen}{,} wenn zu jeder \definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Menge ${ \mathcal F } { \left( U \right) }$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und zu jeder Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Restriktionsabbildung \maabbdisp {\rho_{V,U}} { { \mathcal F } { \left( V \right) } } { { \mathcal F } { \left( U \right) } } {} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.


Eine \definitionsverweis {Prägarbe}{}{} ${ \mathcal F }$ auf einem \definitionsverweis {topologischen Raum}{}{} $X$ heißt \definitionswort {Prägarbe von kommutativen Ringen}{,} wenn zu jeder \definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Menge ${ \mathcal F } { \left( U \right) }$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und zu jeder Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Restriktionsabbildung \maabbdisp {\rho_{V,U}} { { \mathcal F } { \left( V \right) } } { { \mathcal F } { \left( U \right) } } {} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} ist.





\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Zuordnung, die jeder offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} den \definitionsverweis {Ring der algebraischen Funktionen}{}{}
\mathl{\Gamma (U, {\mathcal O} )}{} und zu jeder Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_1 }
{ \subseteq }{U_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Restriktionsabbildung \zusatzklammer {siehe Lemma 14.6} {} {} \maabbdisp {} { \Gamma (U_2, {\mathcal O} ) } { \Gamma (U_1, {\mathcal O} ) } {} zuordnet, eine \definitionsverweis {Prägarbe}{}{} von $K$-\definitionsverweis {Algebren}{}{} ist.

}
{} {}


Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.} Unter einer \definitionswort {Garbe}{} ${ \mathcal F }$ auf $X$ versteht man eine \definitionsverweis {Prägarbe}{}{} ${ \mathcal F }$ auf $X$, die die folgenden Eigenschaften erfüllt. \aufzaehlungzwei {Zu jeder offenen Überdeckung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ = }{ \bigcup_{ i \in I} U_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s,t }
{ \in }{ { \mathcal F } { \left( U \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \rho_{U, U_i} (s ) }
{ = }{\rho_{U, U_i} (t ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ = }{t }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} } {Zu jeder offenen Überdeckung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ = }{ \bigcup_{ i \in I} U_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s_i }
{ \in }{{ \mathcal F } { \left( U_i \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \rho_{U_i, U_i \cap U_j} { \left( s_i \right) } }
{ = }{ \rho_{U_j, U_i \cap U_j} { \left( s_j \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i,j }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ \in }{ { \mathcal F } { \left( U \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s_i }
{ = }{ \rho_{U, U_i} (s) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }





\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {X} {und} {Y} {} \definitionsverweis {topologische Räume}{}{.} Zu jeder \definitionsverweis {offenen Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} betrachten wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal C } { \left( U \right) } }
{ =} { C^0 (U,Y) }
{ =} { { \left\{ \varphi:U \rightarrow Y \mid \varphi \text{ stetig} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass dies eine \definitionsverweis {Garbe}{}{} auf $X$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.} Zu jeder \definitionsverweis {offenen Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} betrachten wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal C } { \left( U \right) } }
{ =} { C^0 (U,\R) }
{ =} { { \left\{ \varphi:U \rightarrow \R \mid \varphi \text{ stetig} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass dies eine \definitionsverweis {Garbe}{}{} von kommutativen $\R$-\definitionsverweis {Algebren}{}{} auf $X$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{.} Zu jeder offenen Teilmenge
\mathl{U \subseteq M}{} betrachten wir die Menge
\mathl{C^1(U,\R)}{} der \definitionsverweis {differenzierbaren Funktionen}{}{} auf $U$. Es sei
\mathl{M= \bigcup_{i \in I} U_i}{} eine \definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{.} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass zu
\mathl{V \subseteq U}{} offen und
\mathl{f \in C^1(U,\R)}{} auch die \definitionsverweis {Einschränkung}{}{} $f {{|}}_V$ zu
\mathl{C^1(V,\R)}{} gehört. }{Sei
\mathl{f \in C^1(M,\R)}{.} Zeige, dass
\mathl{f=0}{} genau dann ist, wenn sämtliche Einschränkungen
\mathl{f {{|}}_{U_i} =0}{} sind. }{Es sei eine Familie
\mathl{f_i \in C^1(U_i,\R)}{} von Funktionen gegeben, die die \anfuehrung{Verträglichkeitsbedingung}{}
\mathl{f_i {{|}}_{U_i \cap U_j} = f_j {{|}}_{U_i \cap U_j}}{} für alle $i,j$ erfüllen. Zeige, dass es ein
\mathl{f \in C^1(M,\R)}{} gibt mit
\mathl{f {{|}}_{U_i} =f_i}{} für alle $i$. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Zuordnung, die jeder offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} den \definitionsverweis {Ring der algebraischen Funktionen}{}{}
\mathl{\Gamma (U, {\mathcal O} )}{} und zu jeder Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_1 }
{ \subseteq }{U_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Restriktionsabbildung \zusatzklammer {siehe Lemma 14.6} {} {} \maabbdisp {} { \Gamma (U_2, {\mathcal O} ) } { \Gamma (U_1, {\mathcal O} ) } {} zuordnet, eine \definitionsverweis {Garbe}{}{} von $K$-\definitionsverweis {Algebren}{}{} ist.

}
{} {}

In den folgenden Aufgaben werden Ultrafilter und minimale Primideale besprochen. Wir geben die Definition.

Ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ${\mathfrak p}$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} heißt \definitionswort {minimales Primideal}{}, wenn es kein Primideal ${\mathfrak q}$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak q} }
{ \subset }{ {\mathfrak p} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.


Sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} $F \subseteq R$ nennt man einen \definitionswort {Ultrafilter}{,} wenn $0 \not\in F$ ist und wenn $F$ maximal mit dieser Eigenschaft ist.





\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein kommutativer Ring und sei
\mathl{F \subseteq R}{} ein multiplikatives System mit
\mathl{0 \not\in F}{.} Zeige, dass $F$ genau dann ein \definitionsverweis {Ultrafilter}{}{} ist, wenn es zu jedem
\mathl{g \in R}{,}
\mathl{g \not\in F}{,} ein
\mathl{f \in F}{} und eine natürliche Zahl $n$ gibt mit
\mathl{fg^n=0}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein kommutativer Ring und sei
\mathl{F\subset R}{} ein \definitionsverweis {Ultrafilter}{}{.} Zeige, dass das Komplement von $F$ ein \definitionsverweis {minimales Primideal}{}{} in $R$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $S$ ein multiplikatives System mit $0 \not\in S$. Zeige, dass $S$ in einem \definitionsverweis {Ultrafilter}{}{} enthalten ist.

}
{\zusatzklammer {Man benutze das Lemma von Zorn} {} {.}} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein kommutativer, \definitionsverweis {reduzierter}{}{} Ring. Zeige, dass jeder \definitionsverweis {Nullteiler}{}{} in einem \definitionsverweis {minimalen Primideal}{}{} enthalten ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \subseteq }{ K[X_1 , \ldots , X_n ] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Radikal}{}{} mit dem zugehörigen \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{ K[X_1 , \ldots , X_n] / {\mathfrak a} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} der der \definitionsverweis {Koordinatenring}{}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V }
{ = }{V( {\mathfrak a} ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Zeige, dass die \definitionsverweis {irreduziblen Komponenten}{}{} von $V$ den \definitionsverweis {minimalen Primidealen}{}{} von $R$ entsprechen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ. Zeige, dass die \definitionsverweis {minimalen Primideale}{}{} von $R$ den irreduziblen Komponenten von
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} entsprechen.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{4}
{

Sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und betrachte die affine Ebene ${\mathbb A}^{2}_{K}$. Es sei
\mathl{P \in {\mathbb A}^{2}_{K}}{} ein Punkt und
\mathl{U= {\mathbb A}^{2}_{K} \setminus \{P\}}{} das offene Komplement davon. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma (U, {\mathcal O} ) }
{ =} { K[X,Y] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{\zusatzklammer {Dies besagt, dass eine außerhalb eines Punktes der Ebene definierte algebraische Funktion sich in den Punkt fortsetzen lässt. In der komplexen Analysis nennt man den entsprechenden Satz den \stichwort {Riemannschen Hebbarkeitssatz} {}} {} {.}} {}




\inputaufgabe
{5 (1+2+2)}
{

Wir betrachten die Neilsche Parabel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} { V(X^2-Y^3) }
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass auf $C$ die Gleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D(X) }
{ = }{D(Y) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. }{Zeige, dass auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ = }{D(Y) }
{ \subseteq }{ C }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durch
\mathl{{ \frac{ X }{ Y } }}{} eine \definitionsverweis {algebraische Funktion}{}{} definiert ist, die sich nicht auf $C$ als algebraische Funktion ausdehnen lässt. }{Zeige, dass die stetige Funktion \maabbdisp {{ \frac{ X }{ Y } }} {D(Y)} { {\mathbb C} } {} eine \definitionsverweis {stetige Fortsetzung}{}{} auf ganz $C$ besitzt. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Sei $R$ eine \definitionsverweis {integre}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} $R$ von \definitionsverweis {endlichem Typ}{}{} über einem \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{} $K$. Sei
\mathl{q \in Q=Q(R)}{} ein Element im \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} von $R$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ =} { { \left\{ f \in R \mid \text{es gibt } n \in \N \text{ mit } f^nq \in R \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$ ist. Zeige ferner, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D({\mathfrak a}) }
{ \subseteq }{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \zusatzklammer {maximale} {} {} Definitionsbereich der \definitionsverweis {algebraischen Funktion}{}{} $q$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und seien
\mathl{f_1 , \ldots , f_n \in R}{} Elemente, die das \definitionsverweis {Einheitsideal}{}{} erzeugen. Es sei vorausgesetzt, dass die Nenneraufnahmen $R_{f_i}$ \definitionsverweis {noethersch}{}{} sind für
\mathl{i=1 , \ldots , n}{.} Zeige, dass dann auch $R$ noethersch ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{6}
{

Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine endlichdimensionale, \definitionsverweis {reduzierte}{}{} $K$-Algebra. Zeige, dass dann $A$ ein endliches direktes Produkt von endlichen Körpererweiterungen von $K$ ist.

}
{} {Hinweis: Man darf ohne Beweis benutzen, dass es in $A$ nur endlich viele Primideale gibt.}


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