Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 14/latex
\setcounter{section}{14}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über $K$. Zeige, dass jede
\definitionsverweis {algebraische Funktion}{}{}
$f$ auf einer offenen Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} {D(F)
}
{ \subseteq} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }
}
{ =} { {\mathbb A}^{1}_{K}
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ G/H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit nicht kürzbaren
\mathl{G,H \in R}{} und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D(F)
}
{ \subseteq }{ D(H)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und sei $R$ eine
$K$-\definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{,}
die ein
\definitionsverweis {faktorieller}{}{}
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
sei. Zeige, dass jede
\definitionsverweis {algebraische Funktion}{}{}
$f$ auf einer offenen Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ G/H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit nicht kürzbaren
\mathl{G,H \in R}{} und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ D(H)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Ergänze den Beweis zu Lemma 14.4.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der Ring $\Gamma (U, {\mathcal O} )$ \definitionsverweis {reduziert}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{.}
Wir betrachten den Punkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { (0,1)
}
{ =} { V(X^3-Y^3+1)
}
{ =} { C
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{K}
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \defeq }{ C \setminus \{P\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Beschreibe eine
\definitionsverweis {algebraische Funktion}{}{}
auf $U$, die sich nicht zu einer algebraischen Funktion auf ganz $C$ ausdehnen lässt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Neilsche Parabel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} {V(Y^2-X^3)
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und den Punkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {(1,1)
}
{ \in} {C
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Finde eine
\definitionsverweis {algebraische Funktion}{}{,}
die auf
\mathl{C \setminus \{P\}}{} definiert ist, aber nicht auf ganz $C$. Tipp: Finde unterschiedliche Faktorzerlegungen von
\mathl{X^3-X^2}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und sei $R$ eine
$K$-\definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{,}
die ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
sei. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{ D( {\mathfrak a} )
}
{ \subseteq }{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
zu einem
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ (f_1 , \ldots , f_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für den Ring der
\definitionsverweis {algebraischen Funktionen}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma (U, {\mathcal O} )
}
{ =} { \bigcap_{i = 1}^n R_{f_i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt, wobei der Durchschnitt im
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
genommen wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Es sei
\mathl{U \subseteq K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} eine offene Teilmenge und
\maabb {f} {U} {K
} {}
eine Funktion. Es sei
\mathl{U=\bigcup_{i \in I}U_i}{} eine offene Überdeckung mit der Eigenschaft, dass die Einschränkungen
\mathl{f_i=f\!\mid_{U_i}}{} algebraische Funktionen sind. Zeige, dass dann $f$ selbst algebraisch ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und sei $R$ eine
$K$-\definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{,}
die ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
sei. Zeige, dass zu
\definitionsverweis {offenen Mengen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Restriktionsabbildung}{}{}
\maabbdisp {} { \Gamma (V, {\mathcal O} ) } { \Gamma (U, {\mathcal O} )
} {}
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{ V(XW-YZ)
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ 4 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Beschreibe eine offene Menge
\mathl{U \subseteq { {\mathbb A}_{ K }^{ 4 } }}{} derart, dass der zu
\mathl{U \cap V \subseteq U}{}
gehörende Ringhomomorphismus
\maabbdisp {} { \Gamma (U, {\mathcal O} )} { \Gamma (U \cap V, {\mathcal O} )
} {}
nicht surjektiv ist.
}
{} {}
In der folgenden Aufgabe wird das Konzept des
\definitionsverweis {Limes einer Abbildung}{}{}
verwendet. Dabei könnte
Aufgabe 1.6
hilfreich sein.
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} {V(Y^2-X^2-X^3)
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene Kurve, den Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ (0,0)
}
{ \in }{C
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und das offene Komplement
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{C \setminus \{P\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass
\mathl{{ \frac{ Y }{ X } }}{} eine
\definitionsverweis {algebraische Funktion}{}{}
auf $U$ ist, die nicht auf ganz $C$ algebraisch ausdehnbar ist.
}{Zeige, dass der
\definitionsverweis {Abbildungslimes}{}{}
zur Funktion
\maabbdisp {\varphi = { \frac{ Y }{ X } }} {U} { {\mathbb C}
} {}
nicht existiert.
}{Zeige, dass es
\definitionsverweis {Folgen}{}{}
\mathl{{ \left( w_n \right) }_{n \in \N }}{} und
\mathl{{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }}{} in $U$ gibt, die beide gegen $P$
\definitionsverweis {konvergieren}{}{,}
für die die
\definitionsverweis {Bildfolgen}{}{}
unter $\varphi$ jeweils konvergieren, aber gegen unterschiedliche Werte.
}
}
{} {}
Wir kommen zu einer Reihe von äußerst wichtigen Begriffen, die wesentliche Eigenschaften der Strukturgarbe auf einem $K$-Spektrum prägnant zusammenfassen.
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.}
Unter einer
\definitionswort {Prägarbe}{}
${ \mathcal F }$ auf $X$ versteht man eine Zuordnung, die jeder
\definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Menge ${ \mathcal F } { \left( U \right) }$ und zu je zwei offenen Mengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\rho_{V,U}} { { \mathcal F } { \left( V \right) } } { { \mathcal F } { \left( U \right) }
} {}
zuordnet, wobei diese Zuordnung die beiden folgenden Bedingungen erfüllen muss.
\aufzaehlungzwei {Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \rho_{U,U}
}
{ =} {
\operatorname{Id}_{ { \mathcal F } { \left( U \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Zu offenen Mengen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq} {V
}
{ \subseteq} {W
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist stets
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \rho_{W,U}
}
{ =} { \rho_{V,U} \circ \rho_{W,V}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Die Abbildungen $\rho_{V,U}$ heißen dabei \stichwort {Restriktionsabbildungen} {.}
Eine
\definitionsverweis {Prägarbe}{}{}
${ \mathcal F }$ auf einem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$ heißt
\definitionswort {Prägarbe von Gruppen}{,}
wenn zu jeder
\definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Menge ${ \mathcal F } { \left( U \right) }$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und zu jeder Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Restriktionsabbildung
\maabbdisp {\rho_{V,U}} { { \mathcal F } { \left( V \right) } } { { \mathcal F } { \left( U \right) }
} {}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist.
Eine
\definitionsverweis {Prägarbe}{}{}
${ \mathcal F }$ auf einem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$ heißt
\definitionswort {Prägarbe von kommutativen Ringen}{,}
wenn zu jeder
\definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Menge ${ \mathcal F } { \left( U \right) }$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und zu jeder Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Restriktionsabbildung
\maabbdisp {\rho_{V,U}} { { \mathcal F } { \left( V \right) } } { { \mathcal F } { \left( U \right) }
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
ist.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Zuordnung, die jeder offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den
\definitionsverweis {Ring der algebraischen Funktionen}{}{}
\mathl{\Gamma (U, {\mathcal O} )}{} und zu jeder Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_1
}
{ \subseteq }{U_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Restriktionsabbildung
\zusatzklammer {siehe
Lemma 14.6} {} {}
\maabbdisp {} { \Gamma (U_2, {\mathcal O} ) } { \Gamma (U_1, {\mathcal O} )
} {}
zuordnet, eine
\definitionsverweis {Prägarbe}{}{}
von
$K$-\definitionsverweis {Algebren}{}{}
ist.
}
{} {}
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.}
Unter einer
\definitionswort {Garbe}{}
${ \mathcal F }$ auf $X$ versteht man eine
\definitionsverweis {Prägarbe}{}{}
${ \mathcal F }$ auf $X$, die die folgenden Eigenschaften erfüllt.
\aufzaehlungzwei {Zu jeder
\definitionsverweis {offenen Überdeckung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ \bigcup_{ i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s,t
}
{ \in }{ { \mathcal F } { \left( U \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \rho_{U, U_i} (s )
}
{ = }{\rho_{U, U_i} (t )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ = }{t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {Zu jeder offenen Überdeckung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ \bigcup_{ i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s_i
}
{ \in }{{ \mathcal F } { \left( U_i \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \rho_{U_i, U_i \cap U_j} { \left( s_i \right) }
}
{ = }{ \rho_{U_j, U_i \cap U_j} { \left( s_j \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i,j
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ { \mathcal F } { \left( U \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s_i
}
{ = }{ \rho_{U, U_i} (s)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
\definitionsverweis {topologische Räume}{}{.}
Zu jeder
\definitionsverweis {offenen Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
betrachten wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal C } { \left( U \right) }
}
{ =} { C^0 (U,Y)
}
{ =} { { \left\{ \varphi:U \rightarrow Y \mid \varphi \text{ stetig} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dies eine
\definitionsverweis {Garbe}{}{}
auf $X$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.}
Zu jeder
\definitionsverweis {offenen Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
betrachten wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal C } { \left( U \right) }
}
{ =} { C^0 (U,\R)
}
{ =} { { \left\{ \varphi:U \rightarrow \R \mid \varphi \text{ stetig} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dies eine
\definitionsverweis {Garbe}{}{}
von kommutativen
$\R$-\definitionsverweis {Algebren}{}{}
auf $X$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{.}
Zu jeder offenen Teilmenge
\mathl{U \subseteq M}{} betrachten wir die Menge
\mathl{C^1(U,\R)}{} der
\definitionsverweis {differenzierbaren Funktionen}{}{}
auf $U$. Es sei
\mathl{M= \bigcup_{i \in I} U_i}{} eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass zu
\mathl{V \subseteq U}{} offen und
\mathl{f \in C^1(U,\R)}{} auch die
\definitionsverweis {Einschränkung}{}{}
$f {{|}}_V$ zu
\mathl{C^1(V,\R)}{} gehört.
}{Es sei
\mathl{f \in C^1(M,\R)}{.} Zeige, dass
\mathl{f=0}{} genau dann ist, wenn sämtliche Einschränkungen
\mathl{f {{|}}_{U_i} =0}{} sind.
}{Es sei eine Familie
\mathl{f_i \in C^1(U_i,\R)}{} von Funktionen gegeben, die die \anfuehrung{Verträglichkeitsbedingung}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_i {{|}}_{U_i \cap U_j}
}
{ =} { f_j {{|}}_{U_i \cap U_j}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $i,j$ erfüllen. Zeige, dass es ein
\mathl{f \in C^1(M,\R)}{} gibt mit
\mathl{f {{|}}_{U_i} =f_i}{} für alle $i$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Zuordnung, die jeder offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den
\definitionsverweis {Ring der algebraischen Funktionen}{}{}
\mathl{\Gamma (U, {\mathcal O} )}{} und zu jeder Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_1
}
{ \subseteq }{U_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Restriktionsabbildung
\zusatzklammer {siehe
Lemma 14.6} {} {}
\maabbdisp {} { \Gamma (U_2, {\mathcal O} ) } { \Gamma (U_1, {\mathcal O} )
} {}
zuordnet, eine
\definitionsverweis {Garbe}{}{}
von
$K$-\definitionsverweis {Algebren}{}{}
ist.
}
{} {}
In den folgenden Aufgaben werden Ultrafilter und minimale Primideale besprochen. Wir geben die Definition.
Ein \definitionsverweis {Primideal}{}{}
${\mathfrak p}$
in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
heißt \definitionswort {minimales Primideal}{}, wenn es kein Primideal ${\mathfrak q}$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak q}
}
{ \subset }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{} $F \subseteq R$ nennt man einen \definitionswort {Ultrafilter}{,} wenn $0 \not\in F$ ist und wenn $F$ maximal mit dieser Eigenschaft ist.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \notin }{F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $F$ genau dann ein
\definitionsverweis {Ultrafilter}{}{}
ist, wenn es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \notin }{F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine natürliche Zahl $n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ fg^n
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei
\mathl{F\subset R}{} ein
\definitionsverweis {Ultrafilter}{}{.}
Zeige, dass das Komplement von $F$ ein
\definitionsverweis {minimales Primideal}{}{}
in $R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $S$ ein multiplikatives System mit $0 \not\in S$. Zeige, dass $S$ in einem \definitionsverweis {Ultrafilter}{}{} enthalten ist.
}
{\zusatzklammer {Man benutze das Lemma von Zorn} {} {.}} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein kommutativer, \definitionsverweis {reduzierter}{}{} Ring. Zeige, dass jeder \definitionsverweis {Nullteiler}{}{} in einem \definitionsverweis {minimalen Primideal}{}{} enthalten ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ K[X_1 , \ldots , X_n ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Radikal}{}{}
mit dem zugehörigen
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ K[X_1 , \ldots , X_n] / {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
der der
\definitionsverweis {Koordinatenring}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{V( {\mathfrak a} )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Zeige, dass die
\definitionsverweis {irreduziblen Komponenten}{}{}
von $V$ den
\definitionsverweis {minimalen Primidealen}{}{}
von $R$ entsprechen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ. Zeige, dass die
\definitionsverweis {minimalen Primideale}{}{}
von $R$ den irreduziblen Komponenten von
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} entsprechen.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und betrachte die affine Ebene ${\mathbb A}^{2}_{K}$. Es sei
\mathl{P \in {\mathbb A}^{2}_{K}}{} ein Punkt und
\mathl{U= {\mathbb A}^{2}_{K} \setminus \{P\}}{} das offene Komplement davon. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma (U, {\mathcal O} )
}
{ =} { K[X,Y]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{\zusatzklammer {Dies besagt, dass eine außerhalb eines Punktes der Ebene definierte algebraische Funktion sich in den Punkt fortsetzen lässt. In der komplexen Analysis nennt man den entsprechenden Satz den \stichwort {Riemannschen Hebbarkeitssatz} {}} {} {.}} {}
\inputaufgabe
{5 (1+2+2)}
{
Wir betrachten die Neilsche Parabel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} { V(X^2-Y^3)
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass auf $C$ die Gleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D(X)
}
{ = }{D(Y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Zeige, dass auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{D(Y)
}
{ \subseteq }{ C
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch
\mathl{{ \frac{ X }{ Y } }}{} eine
\definitionsverweis {algebraische Funktion}{}{}
definiert ist, die sich nicht auf $C$ als algebraische Funktion ausdehnen lässt.
}{Zeige, dass die stetige Funktion
\maabbdisp {{ \frac{ X }{ Y } }} {D(Y)} { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Fortsetzung}{}{}
auf ganz $C$ besitzt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $R$ eine
\definitionsverweis {integre}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
$R$ von
\definitionsverweis {endlichem Typ}{}{}
über einem
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{}
$K$. Es sei
\mathl{q \in Q=Q(R)}{} ein Element im
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
von $R$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { { \left\{ f \in R \mid \text{es gibt } n \in \N \text{ mit } f^nq \in R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$ ist. Zeige ferner, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D({\mathfrak a})
}
{ \subseteq }{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\zusatzklammer {maximale} {} {}
Definitionsbereich der
\definitionsverweis {algebraischen Funktion}{}{}
$q$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_1 , \ldots , f_n
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente, die das
\definitionsverweis {Einheitsideal}{}{}
erzeugen. Es sei vorausgesetzt, dass die Nenneraufnahmen $R_{f_i}$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {noethersch}{}{}
sind. Zeige, dass dann auch $R$ noethersch ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine endlichdimensionale, \definitionsverweis {reduzierte}{}{} $K$-Algebra. Zeige, dass dann $A$ ein endliches direktes Produkt von endlichen Körpererweiterungen von $K$ ist.
}
{} {Hinweis: Man darf ohne Beweis benutzen, dass es in $A$ nur endlich viele Primideale gibt.}
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