Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 13

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und ein multiplikatives System. Man definiert die Nenneraufnahme

schrittweise wie folgt. Es sei zunächst die Menge der formalen Brüche mit Nenner in , also

Zeige, dass durch

eine Äquivalenzrelation auf definiert ist. Wir bezeichnen mit die Menge der Äquivalenzklassen. Definiere auf eine Ringstruktur und definiere einen Ringhomomorphismus .


Aufgabe

Sei ein Integritätsbereich und sei ein multiplikatives System, .

  1. Zeige, dass die Nenneraufnahme zu , also mit

    ein Unterring von ist.

  2. Zeige, dass nicht jeder Unterring von eine Nenneraufnahme ist.


Aufgabe *

Zeige, dass der Körper der rationalen Zahlen überabzählbar viele Unterringe besitzt.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei mit zugehöriger Nenneraufnahme . Beweise die -Algebraisomorphie


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring, ein Element und die zugehörige Nenneraufnahme. Zeige, dass genau dann nilpotent ist, wenn der Nullring ist.


In den folgenden Aufgaben dürfen Sie, wenn Sie wollen, bei Nenneraufnahmen annehmen, dass Integritätsbereiche vorliegen.

Aufgabe

Es seien und kommutative Ringe und sei ein multiplikatives System. Es sei

ein Ringhomomorphismus derart, dass eine Einheit in ist für alle . Zeige: Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

der fortsetzt.


Aufgabe *

Sei ein Körper, der Polynomring in zwei Variablen, ein multiplikatives System und ein Polynom. Zeige, dass es eine eindeutige -Algebraisomorphie

gibt.


Aufgabe

Sei ein Integritätsbereich und ein multiplikatives System. Zeige, dass die Primideale in genau denjenigen Primidealen in entsprechen, die mit einen leeren Durchschnitt haben.


Aufgabe

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien und kommutative -Algebren von endlichem Typ. Es sei und sei ein -Algebrahomomorphismus Zeige, dass die Spektrumsabbildung genau dann durch faktorisiert, wenn eine Einheit in ist.


Aufgabe *

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und eine integre endlich erzeugte -Algebra. Es seien . Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. Es gibt einen -Algebrahomomorphismus .

Zeige ferner, dass diese Äquivalenz für nicht gilt.


Die folgende Aufgabe verwendet den Begriff des saturierten multiplikativen Systems.

Ein multiplikatives System in einem kommutativen Ring heißt saturiert, wenn folgendes gilt: Ist und gibt es ein , das von geteilt wird, so ist auch .


Aufgabe

Seien kommutative Ringe und sei ein Ringhomomorphismus . Zeige, dass das Urbild der Einheitengruppe ein saturiertes multiplikatives System in ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Menge der Nichtnullteiler in ein saturiertes multiplikatives System bilden.


Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer integren, endlich erzeugten -Algebra und eines multiplikativen Systems , , an derart, dass die Nenneraufnahme kein Körper ist, aber jedes maximale Ideal aus zum Einheitsideal in wird.


Aufgabe *

Wir betrachten das Polynom

  1. Finde eine reelle Nullstelle von .
  2. Bestätige die Gleichung
  3. Sei . Folgere, dass

    ist für alle Punkte .

Bemerkung: Nach einem Satz von Artin (Lösung des 17. Hilbertschen Problems) kann man jedes reelle Polynom, das nirgendwo negative Werte annimmt, als eine Summe von Quadraten von rationalen Funktionen schreiben. Das vorstehende Motzkin-Polynom gibt ein konkretes Beispiel dafür, dass man ein solches Polynom im Allgemeinen nicht als Summe von Quadraten von Polynomen schreiben kann. Wir haben aber lediglich die Nichtnegativität bewiesen.

Aufgabe

Zeige, dass ein Integritätsbereich ein zusammenhängender Ring ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei . Es sei sowohl nilpotent als auch idempotent. Zeige, dass ist.


Aufgabe *

Man gebe zu jedem einen kommutativen Ring und ein Element , , an, für das und gilt.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei ein idempotentes Element. Zeige, dass es eine natürliche Ringisomorphie

gibt.

(Dies zeigt erneut, dass offen und abgeschlossen ist).

Aufgabe

Seien und kommutative Ringe und sei der Produktring . Zeige, dass die Teilmenge ein Hauptideal ist.


Aufgabe *

Es sei eine Primzahl und . Zeige, dass der Restklassenring nur die beiden trivialen idempotenten Elemente und besitzt.


Aufgabe *

Schreibe den Restklassenring als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper und vorkommen. Schreibe die Restklasse von als ein Tupel in dieser Produktzerlegung.


Aufgabe

Sei ein topologischer Raum, der nicht leer und nicht zusammenhängend sei. Zeige, dass es dann eine stetige Abbildung , , ( sei mit der metrischen Topologie versehen) gibt, die idempotent im Ring der stetigen Funktionen auf ist.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum mit einer disjunkten Zerlegung

aus offenen Teilmengen . Zeige, dass die natürliche Abbildung

bijektiv ist.


Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es seien verschiedene Elemente und

das Produkt der zugehörigen linearen Polynome. Zeige, dass der Restklassenring isomorph zum Produktring ist.


Aufgabe

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und der Polynomring über . Zeige, dass der Restklassenring zu einem Polynom die Struktur

besitzt. Zeige, dass dabei

ist.


Aufgabe *

Sei ein kommutativer Ring mit Reduktion . Zeige, dass die Abbildung, die den idempotenten Elementen aus ihre Restklasse in zuordnet, injektiv ist.


Aufgabe *

Sei ein kommutativer Ring mit einem Element mit in und sei

Zeige, dass es zu jedem idempotenten Element aus ein idempotentes Element aus gibt, dessen Restklasse gleich ist.


Aufgabe

Sei ein noetherscher kommutativer Ring mit Reduktion . Zeige, dass es eine Folge von kommutativen Ringen , , und surjektiven Ringhomomorphismen

derart gibt, dass die Gesamtabbildung

die Reduktionsabbildung ist und jedes der Restklassenhomomorphismus

zu einem Element mit in ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring mit Reduktion . Zeige, dass die Abbildung, die den idempotenten Elementen aus ihre Restklasse in zuordnet, surjektiv ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein Hauptidealbereich mit Quotientenkörper . Zeige, dass jeder Zwischenring , , eine Nenneraufnahme ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Betrachte die durch gegebene Kurve (siehe Beispiel 6.3 und die offene Menge . Finde eine abgeschlossene Realisierung von in und zeige, dass es auch eine solche Realisierung in gibt. Skizziere die Bildkurve unter der Abbildung

Ist isomorph zu einer offenen Menge der affinen Geraden?


Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte zwei parallele Geraden und das Achsenkreuz . Beschreibe eine möglichst natürliche surjektive Abbildung zwischen und (in welche Richtung?), und zwar sowohl geometrisch als auch algebraisch. Gibt es auch eine surjektive polynomiale Abbildung in die andere Richtung?


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die nilpotenten und die idempotenten Elemente in .


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und betrachte den Durchschnitt der beiden algebraischen Kurven

Identifiziere den Restklassenring

mit einem Produktring und beschreibe die Restklassenabbildung mittels dieser Identifizierung. Bestimme Urbilder in für sämtliche idempotenten Elemente des Produktringes.



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