Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 13

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Man definiert die Nenneraufnahme

$R_{S}$

schrittweise wie folgt. Es sei zunächst ${}M$ die Menge der formalen Brüche mit Nenner in ${}S$, also

${}M={\left\{{\frac {r}{s}}\mid r\in R,\,s\in S\right\}}\,.$

Zeige, dass durch

${\frac {r}{s}}\sim {\frac {r'}{s'}}{\text{ genau dann, wenn es ein }}t\in S{\text{ mit }}trs'=tr's{\text{ gibt}},$

eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ definiert ist. Wir bezeichnen mit ${}R_{S}$ die Menge der Äquivalenzklassen. Definiere auf ${}R_{S}$ eine Ringstruktur und definiere einen Ringhomomorphismus ${}R\rightarrow R_{S}$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und sei ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System, ${}0\notin S$.

1. Zeige, dass die Nenneraufnahme zu ${}S$, also ${}R_{S}$ mit

   ${}R_{S}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\in S\right\}}\subseteq Q(R)\,$

   ein Unterring von ${}Q(R)$ ist.

2. Zeige, dass nicht jeder Unterring von ${}Q(R)$ eine Nenneraufnahme ist.

Aufgabe *

Zeige, dass der Körper der rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ überabzählbar viele Unterringe besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}f\in R$ mit zugehöriger Nenneraufnahme ${}R_{f}$. Beweise die ${}R$- Algebraisomorphie

${}R_{f}\cong R[T]/(Tf-1)\,.$

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}f\in R$ ein Element und ${}R_{f}$ die zugehörige Nenneraufnahme. Zeige, dass ${}f$ genau dann nilpotent ist, wenn ${}R_{f}$ der Nullring ist.

In den folgenden Aufgaben dürfen Sie, wenn Sie wollen, bei Nenneraufnahmen annehmen, dass Integritätsbereiche vorliegen.

Aufgabe *

Es seien ${}R$ und ${}A$ kommutative Ringe und sei ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow A$

ein Ringhomomorphismus derart, dass ${}\varphi (s)$ eine Einheit in ${}A$ ist für alle ${}s\in S$. Zeige: Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon R_{S}\longrightarrow A,$

der ${}\varphi$ fortsetzt.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}R=K[X,Y]$ der Polynomring in zwei Variablen, ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System und ${}F\in R$ ein Polynom. Zeige, dass es eine eindeutige ${}R$- Algebraisomorphie

${}(R/(F))_{S}\cong (R_{S})/(F)\,$

gibt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Zeige, dass die Primideale in ${}R_{S}$ genau denjenigen Primidealen in ${}R$ entsprechen, die mit ${}S$ einen leeren Durchschnitt haben.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}R$ und ${}S$ kommutative ${}K$-Algebren von endlichem Typ. Es sei ${}f\in R$ und ${}\varphi :R\rightarrow S$ sei ein ${}K$- Algebrahomomorphismus Zeige, dass die Spektrumsabbildung ${}\varphi ^{*}$ genau dann durch ${}D(f)$ faktorisiert, wenn ${}\varphi (f)$ eine Einheit in ${}S$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}R$ eine integre endlich erzeugte ${}K$- Algebra. Es seien ${}f,g\in R$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}D(f)\subseteq D(g)$
2. Es gibt einen ${}R$- Algebrahomomorphismus ${}R_{g}\to R_{f}$.

Zeige ferner, dass diese Äquivalenz für ${}K=\mathbb {R}$ nicht gilt.

Die folgende Aufgabe verwendet den Begriff des saturierten multiplikativen Systems.

Ein multiplikatives System ${}S$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt saturiert, wenn folgendes gilt: Ist ${}g\in R$ und gibt es ein ${}f\in S$, das von ${}g$ geteilt wird, so ist auch ${}g\in S$.

Aufgabe

Es seien ${}A,B$ kommutative Ringe und sei ${}\varphi :A\rightarrow B$ ein Ringhomomorphismus . Zeige, dass das Urbild ${}\varphi ^{-1}(B^{\times })$ der Einheitengruppe ein saturiertes multiplikatives System in ${}A$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Menge der Nichtnullteiler in ${}R$ ein saturiertes multiplikatives System bilden.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer integren, endlich erzeugten ${}{\mathbb {C} }$-Algebra ${}R$ und eines multiplikativen Systems ${}S\subseteq R$, ${}0\not \in S$, an derart, dass die Nenneraufnahme ${}R_{S}$ kein Körper ist, aber jedes maximale Ideal aus ${}R$ zum Einheitsideal in ${}R_{S}$ wird.

Aufgabe *

Wir betrachten das Polynom

${}F=X^{4}Y^{2}+X^{2}Y^{4}-3X^{2}Y^{2}+1\,.$

1. Finde eine reelle Nullstelle von ${}F$.
2. Bestätige die Gleichung

   ${}{\begin{aligned}F\cdot (X^{2}+Y^{2}+1)&=(X^{2}Y-Y)^{2}+(XY^{2}-X)^{2}+(X^{2}Y^{2}-1)^{2}+{\frac {1}{4}}(XY^{3}-X^{3}Y)^{2}+{\frac {3}{4}}(XY^{3}+X^{3}Y-2XY)^{2}\\\,\end{aligned}}$

3. Sei ${}K=\mathbb {R}$. Folgere, dass

   ${}F(x,y)\geq 0\,$

   ist für alle Punkte ${}(x,y)\in {\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{2}$.

Bemerkung: Nach einem Satz von Artin (Lösung des 17. Hilbertschen Problems) kann man jedes reelle Polynom, das nirgendwo negative Werte annimmt, als eine Summe von Quadraten von rationalen Funktionen schreiben. Das vorstehende Motzkin-Polynom ${}F$ gibt ein konkretes Beispiel dafür, dass man ein solches Polynom im Allgemeinen nicht als Summe von Quadraten von Polynomen schreiben kann. Wir haben aber lediglich die Nichtnegativität bewiesen.

Aufgabe *

Zeige, dass ein Integritätsbereich ein zusammenhängender Ring ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}f\in R$. Es sei ${}f$ sowohl nilpotent als auch idempotent. Zeige, dass ${}f=0$ ist.

Aufgabe *

Man gebe zu jedem ${}n\geq 2$ einen kommutativen Ring ${}R$ und ein Element ${}x\in R$, ${}x\neq 0$, an, für das ${}nx=0$ und ${}x^{n}=0$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}e\in R$ ein idempotentes Element. Zeige, dass es eine natürliche Ringisomorphie

${}R_{e}\cong R/(1-e)\,$

gibt.

(Dies zeigt erneut, dass ${}D(e)$ offen und abgeschlossen ist).

Aufgabe

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}R\times S$ der Produktring ${}R\times S$. Zeige, dass die Teilmenge ${}R\times 0$ ein Hauptideal ist.

Aufgabe *

Es sei ${}p\in \mathbb {Z}$ eine Primzahl und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass der Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(p^{n})$ nur die beiden trivialen idempotenten Elemente ${}0$ und ${}1$ besitzt.

Aufgabe *

Schreibe den Restklassenring ${}\mathbb {Q} [X]/(X^{4}-1)$ als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper ${}\mathbb {Q}$ und ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ vorkommen. Schreibe die Restklasse von ${}X^{3}+X$ als ein Tupel in dieser Produktzerlegung.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, der nicht leer und nicht zusammenhängend sei. Zeige, dass es dann eine stetige Abbildung ${}f:X\rightarrow \mathbb {R}$, ${}f\neq 0,1$, (${}\mathbb {R}$ sei mit der metrischen Topologie versehen) gibt, die idempotent im Ring der stetigen Funktionen auf ${}X$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum mit einer disjunkten Zerlegung

${}X=U\uplus V\,$

aus offenen Teilmengen ${}U,V\subseteq X$. Zeige, dass die natürliche Abbildung

$C(X,\mathbb {R} )\longrightarrow C(U,\mathbb {R} )\times C(V,\mathbb {R} ),\,f\longmapsto (f\vert _{U},f\vert _{V}),$

bijektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ verschiedene Elemente und

${}F=(X-a_{1}){\cdots }(X-a_{n})\,$

das Produkt der zugehörigen linearen Polynome. Zeige, dass der Restklassenring ${}K[X]/(F)$ isomorph zum Produktring ${}K^{n}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige, dass der Restklassenring zu einem Polynom ${}F\neq 0$ die Struktur

${}K[X]/(F)\cong K[T]/(T^{n_{1}})\times \cdots \times K[T]/(T^{n_{r}})\,$

besitzt. Zeige, dass dabei

${}\operatorname {grad} \,(F)=n_{1}+\cdots +n_{r}\,$

ist.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring mit Reduktion ${}S$. Zeige, dass die Abbildung, die den idempotenten Elementen aus ${}R$ ihre Restklasse in ${}S$ zuordnet, injektiv ist.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring mit einem Element ${}n\in R$ mit ${}n^{2}=0$ in ${}R$ und sei

${}S=R/(n)\,.$

Zeige, dass es zu jedem idempotenten Element ${}e$ aus ${}S$ ein idempotentes Element aus ${}R$ gibt, dessen Restklasse gleich ${}e$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein noetherscher kommutativer Ring mit Reduktion ${}S$. Zeige, dass es eine Folge von kommutativen Ringen ${}R_{i}$, ${}1\leq i\leq n$, und surjektiven Ringhomomorphismen

$\varphi _{i}\colon R_{i}\longrightarrow R_{i+1}$

derart gibt, dass die Gesamtabbildung

$R=R_{0}\rightarrow R_{1}\rightarrow R_{2}\rightarrow \cdots \rightarrow R_{n-1}\rightarrow R_{n}=S$

die Reduktionsabbildung ist und jedes ${}\varphi _{i}$ der Restklassenhomomorphismus

$R\longrightarrow R/(x_{i})$

zu einem Element ${}x_{i}\in R_{i}$ mit ${}x_{i}^{2}=0$ in ${}R_{i}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring mit Reduktion ${}S$. Zeige, dass die Abbildung, die den idempotenten Elementen aus ${}R$ ihre Restklasse in ${}S$ zuordnet, surjektiv ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich mit Quotientenkörper ${}Q=Q(R)$. Zeige, dass jeder Zwischenring ${}S$, ${}R\subseteq S\subseteq Q$, eine Nenneraufnahme ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Betrachte die durch ${}Y^{2}=X^{3}+X^{2}$ gegebene Kurve ${}C$ (siehe Beispiel 6.3 und die offene Menge ${}U=D(X)\subseteq C$. Finde eine abgeschlossene Realisierung von ${}U$ in ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$ und zeige, dass es auch eine solche Realisierung in ${}{\mathbb {A} }_{K}^{2}$ gibt. Skizziere die Bildkurve unter der Abbildung

$U\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,(x,y)\longmapsto \left({\frac {1}{x}},y\right).$

Ist ${}U$ isomorph zu einer offenen Menge der affinen Geraden?

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte zwei parallele Geraden ${}V$ und das Achsenkreuz ${}W$. Beschreibe eine möglichst natürliche surjektive Abbildung zwischen ${}V$ und ${}W$ (in welche Richtung?), und zwar sowohl geometrisch als auch algebraisch. Gibt es auch eine surjektive polynomiale Abbildung in die andere Richtung?

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die nilpotenten und die idempotenten Elemente in ${}\mathbb {Z} /(175)$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und betrachte den Durchschnitt der beiden algebraischen Kurven

$V(X^{2}+Y^{2}-1){\text{ und }}V(Y-X^{2}).$

Identifiziere den Restklassenring

${}R=K[X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1,Y-X^{2})\,$

mit einem Produktring und beschreibe die Restklassenabbildung ${}K[X,Y]\rightarrow R$ mittels dieser Identifizierung. Bestimme Urbilder in ${}K[X,Y]$ für sämtliche idempotenten Elemente des Produktringes.