Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 14

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei  ${}R=K[X]$  der Polynomring über ${}K$. Zeige, dass jede algebraische Funktion ${}f$ auf einer offenen Menge

${}U=D(F)\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}={\mathbb {A} }_{K}^{1}\,$

die Form  ${}f=G/H$  mit nicht kürzbaren  ${}G,H\in R$  und mit  ${}D(F)\subseteq D(H)$  besitzt.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}R$ eine ${}K$- Algebra von endlichem Typ, die ein faktorieller Integritätsbereich sei. Zeige, dass jede algebraische Funktion ${}f$ auf einer offenen Menge

${}U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\,$

die Form  ${}f=G/H$  mit nicht kürzbaren  ${}G,H\in R$  und mit  ${}U\subseteq D(H)$  besitzt.

Aufgabe

Ergänze den Beweis zu Lemma 14.4.

Aufgabe

Zeige, dass der Ring ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})$ reduziert ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Wir betrachten den Punkt

${}P=(0,1)=V(X^{3}-Y^{3}+1)=C\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,.$

Es sei  ${}U:=C\setminus \{P\}$.  Beschreibe eine algebraische Funktion auf ${}U$, die sich nicht zu einer algebraischen Funktion auf ganz ${}C$ ausdehnen lässt.

Aufgabe *

Wir betrachten die Neilsche Parabel

${}C=V(Y^{2}-X^{3})\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$

und den Punkt

${}P=(1,1)\in C\,.$

Finde eine algebraische Funktion, die auf ${}C\setminus \{P\}$ definiert ist, aber nicht auf ganz ${}C$. Tipp: Finde unterschiedliche Faktorzerlegungen von ${}X^{3}-X^{2}$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}R$ eine ${}K$- Algebra von endlichem Typ, die ein Integritätsbereich sei. Es sei  ${}U=D({\mathfrak {a}})\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$  eine offene Menge zu einem Ideal  ${}{\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{n})$.  Zeige, dass für den Ring der algebraischen Funktionen die Gleichheit

${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})=\bigcap _{i=1}^{n}R_{f_{i}}\,$

gilt, wobei der Durchschnitt im Quotientenkörper von ${}R$ genommen wird.

Aufgabe

Es sei ${}R$ eine kommutative ${}K$- Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Es sei  ${}U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$  eine offene Teilmenge und ${}f\colon U\rightarrow K$ eine Funktion. Es sei  ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$  eine offene Überdeckung mit der Eigenschaft, dass die Einschränkungen  ${}f_{i}=f\!\mid _{U_{i}}$  algebraische Funktionen sind. Zeige, dass dann ${}f$ selbst algebraisch ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}R$ eine ${}K$- Algebra von endlichem Typ, die ein Integritätsbereich sei. Zeige, dass zu offenen Mengen  ${}U\subseteq V$  die Restriktionsabbildung

$\Gamma (V,{\mathcal {O}})\longrightarrow \Gamma (U,{\mathcal {O}})$

injektiv ist.

Aufgabe

Betrachte  ${}V=V(XW-YZ)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{4}}$.  Beschreibe eine offene Menge  ${}U\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{4}}$  derart, dass der zu  ${}U\cap V\subseteq U$  gehörende Ringhomomorphismus

$\Gamma (U,{\mathcal {O}})\longrightarrow \Gamma (U\cap V,{\mathcal {O}})$

nicht surjektiv ist.

In der folgenden Aufgabe wird das Konzept des Limes einer Abbildung verwendet. Dabei könnte Aufgabe 1.7 hilfreich sein.

Aufgabe

Wir betrachten die durch

${}C=V(Y^{2}-X^{2}-X^{3})\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

gegebene Kurve, den Punkt  ${}P=(0,0)\in C$  und das offene Komplement  ${}U=C\setminus \{P\}$. 

1. Zeige, dass ${}{\frac {Y}{X}}$ eine algebraische Funktion auf ${}U$ ist, die nicht auf ganz ${}C$ algebraisch ausdehnbar ist.
2. Zeige, dass der Abbildungslimes zur Funktion

   $\varphi ={\frac {Y}{X}}\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   in ${}P$ nicht existiert.

3. Zeige, dass es Folgen ${}{\left(w_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}U$ gibt, die beide gegen ${}P$ konvergieren, für die die Bildfolgen unter ${}\varphi$ jeweils konvergieren, aber gegen unterschiedliche Werte.

Wir kommen zu einer Reihe von äußerst wichtigen Begriffen, die wesentliche Eigenschaften der Strukturgarbe auf einem ${}K$-Spektrum prägnant zusammenfassen.

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Unter einer Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf ${}X$ versteht man eine Zuordnung, die jeder offenen Menge  ${}U\subseteq X$  eine Menge ${}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ und zu je zwei offenen Mengen  ${}U\subseteq V$  eine Abbildung

$\rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$

zuordnet, wobei diese Zuordnung die beiden folgenden Bedingungen erfüllen muss.

1. Zu  ${}U=V$  ist

   ${}\rho _{U,U}=\operatorname {Id} _{{\mathcal {F}}{\left(U\right)}}\,.$

2. Zu offenen Mengen

   ${}U\subseteq V\subseteq W\,$

   ist stets

   ${}\rho _{W,U}=\rho _{V,U}\circ \rho _{W,V}\,.$

Die Abbildungen ${}\rho _{V,U}$ heißen dabei Restriktionsabbildungen.

Eine Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ heißt Prägarbe von Gruppen, wenn zu jeder offenen Menge  ${}U\subseteq X$  die Menge ${}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ eine Gruppe und zu jeder Inklusion  ${}U\subseteq V$  die Restriktionsabbildung

$\rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Eine Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ heißt Prägarbe von kommutativen Ringen, wenn zu jeder offenen Menge  ${}U\subseteq X$  die Menge ${}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ ein kommutativer Ring und zu jeder Inklusion  ${}U\subseteq V$  die Restriktionsabbildung

$\rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$

ein Ringhomomorphismus ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Zuordnung, die jeder offenen Menge  ${}U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$  den Ring der algebraischen Funktionen ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})$ und zu jeder Inklusion  ${}U_{1}\subseteq U_{2}$  die Restriktionsabbildung (siehe Lemma 14.6)

$\Gamma (U_{2},{\mathcal {O}})\longrightarrow \Gamma (U_{1},{\mathcal {O}})$

zuordnet, eine Prägarbe von ${}K$- Algebren ist.

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Unter einer Garbe ${}{\mathcal {F}}$ auf ${}X$ versteht man eine Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf ${}X$, die die folgenden Eigenschaften erfüllt.

1. Zu jeder offenen Überdeckung  ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$  und Elementen  ${}s,t\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$  mit  ${}\rho _{U,U_{i}}(s)=\rho _{U,U_{i}}(t)$  für alle  ${}i\in I$  gilt  ${}s=t$. 
2. Zu jeder offenen Überdeckung  ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$  und Elementen  ${}s_{i}\in {\mathcal {F}}{\left(U_{i}\right)}$  mit  ${}\rho _{U_{i},U_{i}\cap U_{j}}{\left(s_{i}\right)}=\rho _{U_{j},U_{i}\cap U_{j}}{\left(s_{j}\right)}$  für alle  ${}i,j\in I$  gibt es ein  ${}s\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$  mit  ${}s_{i}=\rho _{U,U_{i}}(s)$  für alle  ${}i\in I$. 

Aufgabe

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume. Zu jeder offenen Teilmenge  ${}U\subseteq X$  betrachten wir

${}{\mathcal {C}}{\left(U\right)}=C^{0}(U,Y)={\left\{\varphi :U\rightarrow Y\mid \varphi {\text{ stetig}}\right\}}\,.$

Zeige, dass dies eine Garbe auf ${}X$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Zu jeder offenen Teilmenge  ${}U\subseteq X$  betrachten wir

${}{\mathcal {C}}{\left(U\right)}=C^{0}(U,\mathbb {R} )={\left\{\varphi :U\rightarrow \mathbb {R} \mid \varphi {\text{ stetig}}\right\}}\,.$

Zeige, dass dies eine Garbe von kommutativen ${}\mathbb {R}$- Algebren auf ${}X$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Zu jeder offenen Teilmenge  ${}U\subseteq M$  betrachten wir die Menge ${}C^{1}(U,\mathbb {R} )$ der differenzierbaren Funktionen auf ${}U$. Es sei  ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$  eine offene Überdeckung.

a) Zeige, dass zu  ${}V\subseteq U$  offen und  ${}f\in C^{1}(U,\mathbb {R} )$  auch die Einschränkung ${}f{|}_{V}$ zu ${}C^{1}(V,\mathbb {R} )$ gehört.

b) Es sei  ${}f\in C^{1}(M,\mathbb {R} )$.  Zeige, dass  ${}f=0$  genau dann ist, wenn sämtliche Einschränkungen  ${}f{|}_{U_{i}}=0$  sind.

c) Es sei eine Familie  ${}f_{i}\in C^{1}(U_{i},\mathbb {R} )$  von Funktionen gegeben, die die „Verträglichkeitsbedingung“

${}f_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}=f_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\,$

für alle ${}i,j$ erfüllen. Zeige, dass es ein  ${}f\in C^{1}(M,\mathbb {R} )$  gibt mit  ${}f{|}_{U_{i}}=f_{i}$  für alle ${}i$.

Aufgabe

Zeige, dass die Zuordnung, die jeder offenen Menge  ${}U\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$  den Ring der algebraischen Funktionen ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})$ und zu jeder Inklusion  ${}U_{1}\subseteq U_{2}$  die Restriktionsabbildung (siehe Lemma 14.6)

$\Gamma (U_{2},{\mathcal {O}})\longrightarrow \Gamma (U_{1},{\mathcal {O}})$

zuordnet, eine Garbe von ${}K$- Algebren ist.

In den folgenden Aufgaben werden Ultrafilter und minimale Primideale besprochen. Wir geben die Definition.

Ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ in einem kommutativen Ring heißt minimales Primideal, wenn es kein Primideal ${}{\mathfrak {q}}$ mit  ${}{\mathfrak {q}}\subset {\mathfrak {p}}$  gibt.

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Ein multiplikatives System  ${}F\subseteq R$  nennt man einen Ultrafilter, wenn  ${}0\notin F$  ist und wenn ${}F$ maximal mit dieser Eigenschaft ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei  ${}F\subseteq R$  ein multiplikatives System mit  ${}0\notin F$.  Zeige, dass ${}F$ genau dann ein Ultrafilter ist, wenn es zu jedem  ${}g\in R$,   ${}g\notin F$,  ein  ${}f\in F$  und eine natürliche Zahl ${}n$ mit  ${}fg^{n}=0$  gibt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei  ${}F\subseteq R$  ein Ultrafilter. Zeige, dass das Komplement von ${}F$ ein minimales Primideal in ${}R$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}S$ ein multiplikatives System mit  ${}0\notin S$.  Zeige, dass ${}S$ in einem Ultrafilter enthalten ist.

(Man benutze das Lemma von Zorn).

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer, reduzierter Ring. Zeige, dass jeder Nullteiler in einem minimalen Primideal enthalten ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  ein Radikal mit dem zugehörigen Restklassenring  ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$,  der der Koordinatenring zu  ${}V=V({\mathfrak {a}})$  ist. Zeige, dass die irreduziblen Komponenten von ${}V$ den minimalen Primidealen von ${}R$ entsprechen.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra von endlichem Typ. Zeige, dass die minimalen Primideale von ${}R$ den irreduziblen Komponenten von ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ entsprechen.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, wir betrachten die affine Ebene ${}{\mathbb {A} }_{K}^{2}$. Es sei  ${}P\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}$  ein Punkt und  ${}U={\mathbb {A} }_{K}^{2}\setminus \{P\}$  das offene Komplement davon. Zeige

${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})=K[X,Y]\,.$

(Dies besagt, dass eine außerhalb eines Punktes der Ebene definierte algebraische Funktion sich in den Punkt fortsetzen lässt. In der komplexen Analysis nennt man den entsprechenden Satz den Riemannschen Hebbarkeitssatz).

Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Neilsche Parabel

${}C=V(X^{2}-Y^{3})\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\,.$

a) Zeige, dass auf ${}C$ die Gleichheit  ${}D(X)=D(Y)$  gilt.

b) Zeige, dass auf  ${}U=D(Y)\subseteq C$  durch ${}{\frac {X}{Y}}$ eine algebraische Funktion definiert ist, die sich nicht auf ${}C$ als algebraische Funktion ausdehnen lässt.

c) Zeige, dass die stetige Funktion

${\frac {X}{Y}}\colon D(Y)\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine stetige Fortsetzung auf ganz ${}C$ besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ eine integre ${}K$- Algebra ${}R$ von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$. Es sei  ${}q\in Q=Q(R)$  ein Element im Quotientenkörper von ${}R$. Zeige, dass

${}{\mathfrak {a}}={\left\{f\in R\mid {\text{es gibt }}n\in \mathbb {N} {\text{ mit }}f^{n}q\in R\right\}}\,$

ein Ideal in ${}R$ ist. Zeige ferner, dass  ${}D({\mathfrak {a}})\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$  der (maximale) Definitionsbereich der algebraischen Funktion ${}q$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien  ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$  Elemente, die das Einheitsideal erzeugen. Es sei vorausgesetzt, dass die Nenneraufnahmen ${}R_{f_{i}}$ für  ${}i=1,\ldots ,n$  noethersch sind. Zeige, dass dann auch ${}R$ noethersch ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine endlichdimensionale, reduzierte ${}K$-Algebra. Zeige, dass dann ${}A$ ein endliches direktes Produkt von endlichen Körpererweiterungen von ${}K$ ist.

Hinweis: Man darf ohne Beweis benutzen, dass es in ${}A$ nur endlich viele Primideale gibt.