Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 20/latex

\setcounter{section}{20}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Zeige unter Verwendung der eindeutigen Primfaktorzerlegung von natürlichen Zahlen, dass die \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
\mathl{\sqrt{p}}{} \definitionsverweis {irrational}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise mit Hilfe der eindeutigen Primfaktorzerlegung in $\Z$, dass $9^{1/3}$ irrational ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein Körper und sei \mathind { R_i \subseteq K } { i \in I }{,} eine Familie von \definitionsverweis {normalen}{}{} Unterringen. Zeige, dass auch der Durchschnitt $\bigcap_{i \in I} R_i$ normal ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass $R$ genau dann \definitionsverweis {normal}{}{} ist, wenn er mit seiner \definitionsverweis {Normalisierung}{}{} übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Es sei angenommen, dass die \definitionsverweis {Normalisierung}{}{} von $R$ gleich dem \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $Q(R)$ ist. Zeige, dass dann $R$ selbst schon ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{} und
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {.} Zeige, dass die Nenneraufnahme $R_f$ ebenfalls normal ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ \subseteq }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.} Zeige, dass dann auch die \definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{} $R_S$ normal ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

\aufzaehlungdrei{Skizziere die Nullstellengebilde
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V }
{ =} { V(XY,XZ,YZ) }
{ \subseteq} { { {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W }
{ =} {V(ST(S-T)) }
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{K} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im reellen Fall. }{Stifte einen bijektiven Morphismus \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {.} }{Zeige, dass der Morphismus $\varphi$ außerhalb des Nullpunktes ein Isomorphismus ist \zusatzklammer {die Charakteristik des Körpers sei $\neq 2$} {} {.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein \definitionsverweis {torsionsfreies}{}{} Monoid. Zeige, dass dann auch die \definitionsverweis {Differenzengruppe}{}{} $\Gamma(M)$ torsionsfrei ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein kommutative Gruppe. Zeige, dass die \definitionsverweis {Torsionsfreiheit}{}{} von $M$ äquivalent zu folgender Eigenschaft ist: Aus
\mathl{m \in M}{} und
\mathl{rm=0}{} für ein positives
\mathl{r \in \N}{} folgt stets
\mathl{m=0}{}. Zeige ferner, dass diese Äquivalenz für ein Monoid nicht gelten muss.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten das Nullstellengebilde
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} { V(Y^2-X^4) }
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Ist $C$ irreduzibel? }{Kann man den Koordinatenring
\mathl{{\mathbb C}[X,Y]/(Y^2-X^4)}{} als Monoidring erhalten? }{Kann man den Koordinatenring
\mathl{{\mathbb C}[X,Y]/(Y^2-X^4)}{} als Monoidring zu einem Untermonoid
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \subseteq }{ \N \times \Z/(2) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} erhalten? }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{n \in \N_+}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \subseteq }{ \N \times \Z/(n) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Untermonoid}{}{.} Zeige, dass
\mathl{m \in M}{} genau dann eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist, wenn $m$ aufgefasst in
\mathl{\N \times \Z/(n)}{} eine Einheit ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass das ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Spektrum}{}{} des \definitionsverweis {kommutativen Monoids}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{ \N \times \Z/(n) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} aus $n$ \definitionsverweis {irreduziblen Komponenten}{}{} besteht, die alle isomorph zur affinen Geraden
\mathl{{\mathbb A}^{1}_{{\mathbb C}}}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} mit \definitionsverweis {Normalisierung}{}{} $R^{\operatorname{norm} }$. Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f} }
{ =} {{ \left\{ g \in R \mid gR^{\operatorname{norm} } \subseteq R \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$ gegeben ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{M \subseteq \N}{} ein numerisches Monoid, das von teilerfremden natürlichen Zahlen erzeugt werde. Zeige, dass für das Führungsideal des zugehörigen Monoidrings $K[M]$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f} }
{ =} { (M_{\geq f}) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} besteht, wobei $f$ die \definitionsverweis {Führungszahl}{}{} des Monoids bezeichnet.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \subseteq }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {numerisches Monoid}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Singularitätsgrad}{}{} von $M$ mit den drei folgenden Zahlen übereinstimmt. \aufzaehlungdrei{Die maximale Länge einer Kette von Monoiden
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} {M_0 }
{ \subset} {M_1 }
{ \subset} {M_2 }
{ \subset \ldots \subset} {M_n }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {\N }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{} }{Die maximale Länge einer Kette von $K$-\definitionsverweis {Algebren}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K[M] }
{ =} { R_0 }
{ \subset} {R_1 }
{ \subset} {R_2 }
{ \subset \ldots \subset} {R_n }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { K[T] }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.} }{Die maximale Länge einer Kette \zusatzklammer {einer \definitionsverweis {Fahne}{}{}} {} {} von $K$-\definitionsverweis {Untervektorräumen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K[M] }
{ =} { V_0 }
{ \subset} {V_1 }
{ \subset} {V_2 }
{ \subset \ldots \subset} {V_n }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { K[T] }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.} }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {ganze Ringerweiterung}{}{.} Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass für das von $f$ erzeugte \definitionsverweis {Hauptideal}{}{} gilt:
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R \cap (f)S }
{ =} { (f)R }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass dann auch der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} $R[X]$ normal ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{} und
\mathl{a \in R}{.} Es sei vorausgesetzt, dass $a$ keine Quadratwurzel in $R$ besitzt. Zeige, dass das Polynom
\mathl{X^2-a}{} \definitionsverweis {prim}{}{} in $R[X]$ ist. Tipp: Verwende den \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $Q(R)$. Warnung: Prim muss hier nicht zu \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} äquivalent sein.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{$R$ ist \definitionsverweis {normal}{}{.} }{Für jedes \definitionsverweis {Primideal}{}{} ${\mathfrak p}$ ist die \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{} $R_{\mathfrak p}$ normal. }{Für jedes \definitionsverweis {maximale Ideal}{}{} ${\mathfrak m}$ ist die Lokalisierung $R_{\mathfrak m}$ normal.}

}
{(Man sagt daher, dass normal eine \stichwort {lokale Eigenschaft} {} ist.)} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \subseteq }{ \Gamma(M) }
{ \cong }{ \Z^n }
{ = }{ M }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Monoid}{}{} und betrachte die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^* }
{ =} { { \left\{ \varphi:\Gamma(M) \longrightarrow \Z \mid \varphi(M) \subseteq \N \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass $M^*$ ein normales Untermonoid von
\mathl{\operatorname{Hom} { \left( \Z^n, \Z \right) }}{} ist.

}
{(Dieses Monoid nennt man das \stichwort {duale Monoid} {} zu $M$.)} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Betrachte Beispiel 20.12. Welchen Wert haben die drei Erzeuger unter den dort angegebenen Monoidhomomorphismen $\varphi_1,\varphi_2$ nach $\Z$, durch die das Monoid beschrieben werden kann. Bestimme den Kokern des Gruppenhomomorphismus \maabbeledisp {} {\Gamma(M) } { \Z^2 } {m} { (\varphi_1(m),\varphi_2(m)) } {.}

}
{(Diesen Kokern nennt man die \stichwort {Divisorenklassengruppe} {} des Monoidringes.)} {}