Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 22/latex

\setcounter{section}{22}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C}[X]} { {\mathbb C} } {X} {a } {,} mit der \definitionsverweis {Evaluationsabbildung}{}{} \zusatzklammer {in den \definitionsverweis {Restekörper}{}{} \mathlk{{\mathbb C}[X]_{(X-a)}/ (X-a) {\mathbb C}[X]_{(X-a)}}{}} {} {} zum \definitionsverweis {Primideal}{}{}
\mathl{(X-a)}{} übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei ${\mathfrak n}$ ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$. Es sei $R_{\mathfrak n}$ die \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{} von $R$ an ${\mathfrak n}$ und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m} }
{ = }{ {\mathfrak n} R_{\mathfrak n} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das maximale Ideal von $R_{\mathfrak n}$. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R/ {\mathfrak n} }
{ = }{R_{\mathfrak n} /{\mathfrak m} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ der \definitionsverweis {lokale Ring}{}{} zum Überkreuzungspunkt des dreidimensionalen Achsenkreuzes. Bestimme dessen \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass es auf ihr Punkte
\mathl{P_1,P_2,P_3 \in C}{} gibt, deren \definitionsverweis {Einbettungsdimensionen}{}{} gleich $1,2,3$ sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H(X) }
{ \in }{K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ = }{Y-H }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ = }{V(F) }
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Graph}{}{} von $H$, aufgefasst als \definitionsverweis {ebene algebraische Kurve}{}{.} Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} { (a,b) }
{ =} { (a, H(a)) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein Punkt des Graphen. \aufzaehlungzwei {Zeige, dass die \definitionsverweis {Multiplizität}{}{} von $C$ in $P$ gleich $1$ ist. } {Zeige, dass die \definitionsverweis {Tangente}{}{} in $P$ an $C$ mit der üblichen Tangente an einen Graphen im Punkt $a$ übereinstimmt. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F_1 , \ldots , F_m }
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_\ell ] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G_1 , \ldots , G_n }
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_m ] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Polynome, die zu den \definitionsverweis {polynomialen Abbildungen}{}{}
\mathdisp {{ {\mathbb A}_{ K }^{ \ell } } \stackrel{F}{\longrightarrow} { {\mathbb A}_{ K }^{ m } } \stackrel{G}{\longrightarrow} { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }} { }
Anlass geben. Es seien \mathkor {} {J (F)_P} {und} {J (G)_Q} {} die durch \definitionsverweis {formales partielles Ableiten}{}{} definierten \definitionsverweis {Jacobi-Matrizen}{}{.} Beweise die formale Kettenregel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ J ( G \circ F)_P }
{ =} { J(G)_{F(P)} \circ J(F)_P }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

\aufzaehlungzwei {Zeige, dass formales \definitionsverweis {partielles Ableiten}{}{} auf dem Polynomring
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} bezüglich einer Variablen und \definitionsverweis {Dehomogenisieren}{}{} bezüglich einer anderen Variablen vertauschbar sind. } {Zeige, dass dies nicht für die gleiche Variable stimmt. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H }
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \zusatzklammer {in der \definitionsverweis {Standardgraduierung}{}{}} {} {} \definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{} vom Grad $e$. Zeige die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e H }
{ =} { X_1 { \frac{ \partial H }{ \partial X_1 } } + \cdots + X_n { \frac{ \partial H }{ \partial X_n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die durch
\mathl{y = 2x^4+3x^2-x+1}{} gegebene Kurve mit dem Punkt
\mathl{P=(1,5)}{.} Finde eine Koordinatentransformation derart, dass $P$ zum Punkt $(0,0)$ wird und die Tangente an $P$ zur $x$-Achse.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \in }{ K[X,Y] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein nichtkonstantes Polynom mit einfachen Primfaktoren und mit zugehöriger \definitionsverweis {ebener Kurve}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ = }{V(F) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $C$ nur endlich viele \definitionsverweis {singuläre Punkte}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise Lemma 22.12.

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Cercle tangente rayon.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Cercle tangente rayon.svg } {} {} {Commons} {} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {Einheitskreis}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $\neq 2$ \definitionsverweis {glatt}{}{} ist und bestimme für jeden Punkt die Gleichung der \definitionsverweis {Tangente}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.}

a) Zeige, dass der \definitionsverweis {Graph}{}{} eines Polynoms
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {glatte}{}{} \definitionsverweis {algebraische Kurve}{}{} ist.

b) Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F,G }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Polynome ohne gemeinsame Nullstelle. Zeige, dass der Graph der \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{} $F/G$ ebenfalls eine glatte algebraische Kurve ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die singulären Punkte der ebenen algebraischen Kurve
\mathdisp {V { \left( -2X^3+3X^2Y-Y+ \frac{2}{3} \sqrt{\frac{1}{3} } \right) } \subset {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die in Beispiel 8.5 berechnete Trajektorie die Koordinaten der Punkte, wo die Kurve singulär ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Betrachte die beiden reellen Kurven
\mathdisp {V(X^5-X^3+2XY+7Y^2-9)} { }
im Punkt
\mathl{(1,1)}{} und
\mathdisp {V(X^4+Y^4-3X^2Y^2 +5X+7Y)} { }
im Nullpunkt. Sind diese beiden Kurven lokal in den angegebenen Punkten zueinander \definitionsverweis {diffeomorph}{}{?}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ \geq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Man charakterisiere die Polynome
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \in }{K[X,Y] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Eigenschaft, dass \aufzaehlungdrei{die erste \definitionsverweis {partielle Ableitung}{}{,} }{die zweite partielle Ableitung, }{beide partiellen Ableitungen } $0$ sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme für die \definitionsverweis {Kurve}{}{}
\mathl{V { \left( X^3+Y^3-3XY+1 \right) }}{} die \definitionsverweis {singulären Punkte}{}{} über $\R$ und über ${\mathbb C}$. Man gebe jeweils die \definitionsverweis {Multiplizität}{}{} und die \definitionsverweis {Tangenten}{}{} an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G,H }
{ \in }{ K[X,Y] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Polynome mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G(P) }
{ = }{H(P) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für einen bestimmten Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{ {\mathbb A}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ = }{GH }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass jede \definitionsverweis {Tangente}{}{} von $G$ in $P$ und jede Tangente von $H$ in $P$ auch eine Tangente von $F$ in $P$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{.} Betrachte die \definitionsverweis {Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} { V(x^3+5x^2y-6xy^2-x^2-xy+4y^2) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Bestimme die \definitionsverweis {Tangenten}{}{} im Nullpunkt. }{Zeige, dass
\mathl{P=(1,2)}{} ein Punkt der Kurve ist, und berechne die Tangente(n) von $C$ in $P$ über die Ableitung. }{Führe eine Variablentransformation durch derart, dass $P$ in den neuen Variablen der Nullpunkt ist, und bestimme die Tangente(n) in $P$ aus der transformierten Kurvengleichung. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme für die \definitionsverweis {algebraische Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} { V { \left( 9y^4+10x^2y^2+x^4-12y^3-12x^2y+4y^2 \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Singularitäten}{}{} sowie deren \definitionsverweis {Multiplizitäten}{}{} und \definitionsverweis {Tangenten}{}{.}

}
{\zusatzklammer {Vergleiche dazu Beispiel 8.5.} {} {}} {}