Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 23

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ein Körper, der Polynomring über und die (formale) partielle Ableitung bezüglich , also die Abbildung

Zeige, dass dies eine -Derivation ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und der Polynomring darüber in Variablen. Es sei das von den Variablen erzeugte Ideal. Zeige, dass ist, wobei das Ideal in bezeichnet, das von allen homogenen Polynomen vom Grad erzeugt wird.


Aufgabe

Betrachte das Achsenkreuz und den zum Nullpunkt gehörigen lokalen Ring mit maximalem Ideal . Beschreibe explizit eine -Basis für die Restklassenringe und bestimme die Dimensionen davon.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring mit zwei Idealen . Es sei und das Bildideal. Zeige, dass ist.


Aufgabe *

Es sei die homogene Zerlegung eines Polynoms mit und es sei . Zeige, dass für jedes die Multiplikationsabbildung

einen injektiven, wohldefinierten -Modulhomomorphismus

festlegt.


Aufgabe *

Sei und sei .

  1. Bestimme für .
  2. Bestimme .
  3. Es sei ein Körper und setze mit . Bestimme .


Aufgabe *

Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms

und bestimme die Singularitäten der zugehörigen affinen Kurve samt ihren Multiplizitäten und Tangenten.


Aufgabe *

Bestimme die Multiplizität und die Tangenten im Nullpunkt der ebenen algebraischen Kurve


Aufgabe *

Bestimme über die partiellen Ableitungen für das durch das Polynom

gegebene Nullstellengebilde einen singulären Punkt. Führe eine Koordinatentransformation durch, die diesen Punkt in den Nullpunkt überführt. Bestimme die Multiplizität und die Tangenten in diesem Punkt.


Cardioid.svg


Aufgabe

Bestimme die Singularitäten (mit Multiplizitäten und Tangenten) der durch

gegebenen Kardioide.


Aufgabe

Berechne für das durch die Erzeuger und gegebene Monoid die in den Abschätzungen von Lemma 23.8 auftretenden Ausdrücke bis .


In einigen Aufgaben wird die Krull-Dimension eines kommutativen Ringes verwendet. Da wir uns hauptsächlich für Kurven interessieren, denen eindimensionale Ringe entsprechen, werden wir keine systematische Dimensionstheorie entwickeln.

Sei ein kommutativer Ring. Eine Kette aus Primidealen

nennt man Primidealkette der Länge (es wird also die Anzahl der Inklusionen gezählt, nicht die Anzahl der beteiligten Primideale). Die Dimension (oder Krulldimension) von ist das Supremum über alle Längen von Primidealketten. Sie wird mit bezeichnet.


Aufgabe

Sei ein Hauptidealbereich, der kein Körper sei. Zeige, dass die Krulldimension von gleich eins ist.


Aufgabe

Wir betrachten das maximale Ideal

im Polynomring über einem Körper und seine Potenzen . Zeige, dass die Monome

eine -Basis des Restklassenringes bildet.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne für das durch die Erzeuger gegebene Monoid die in den Abschätzungen von Lemma 23.8 auftretenden Ausdrücke bis .


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Ideal in einem kommutativen Ring, das in genau einem maximalen Ideal als einzigem Primoberideal enthalten sei. Zeige, dass dann ist. Folgere daraus, dass für ein maximales Ideal in einem noetherschen kommutativen Ring die Isomorphie für jedes gilt.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei der Polynomring in zwei Variablen. Zeige, dass die Krulldimension zwei besitzt.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein noetherscher kommutativer Ring. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

  1. hat Krulldimension .
  2. ist ein artinscher Ring.
  3. besitzt endlich viele Primideale, die alle maximal sind.
  4. Es gibt eine natürliche Zahl mit für jedes maximale Ideal .
  5. Die Reduktion von ist ein Produkt von Körpern.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring von endlicher Krulldimension . Zeige, dass die Krulldimension des Polynomrings mindestens ist.

(Bemerkung: über einem noetherschen Grundring erhöht sich die Dimension beim Übergang zum Polynomring genau um eins, dies ist aber schwieriger zu beweisen.)

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