Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Vorlesung 22

Die Einbettungsdimension

Definition

Es sei ${}R$ ein lokaler kommutativer noetherscher Ring mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}$. Dann heißt die minimale Idealerzeugendenzahl für ${}{\mathfrak {m}}$ die Einbettungsdimension von ${}R$, geschrieben

$\operatorname {embdim} \,(R).$

Ein noetherscher lokaler Integritätsbereich der Dimension eins (d.h. die einzigen Primideale sind das Nullideal und das maximale Ideal) ist nach Satz 21.8 genau dann ein diskreter Bewertungsring, wenn seine Einbettungsdimension ${}1$ ist. Wir erwähnen, dass die Einbettungsdimension immer zumindest so groß ist wie die Dimension eines lokalen Ringes. Die Ringe, bei denen Gleichheit gilt, spielen eine besondere Rolle und heißen reguläre Ringe. Wir sind der Einbettungsdimension schon im Fall von monomialen Kurven begegnet und müssen zeigen, dass die dortige Definition (Definition 18.6) mit der neuen verträglich ist.

Wir beweisen zunächst eine andere Charakterisierung, die sich aus dem Lemma von Nakayama ergibt.

Lemma

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}},K)$ ein lokaler Ring und sei ${}V$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul.

Dann stimmt die minimale Erzeugendenzahl ${}\mu (V)$ mit der Dimension des ${}K$- Vektorraums ${}V/{\mathfrak {m}}V$ überein.

Beweis

Wir zeigen etwas allgemeiner, dass Elemente ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ genau dann ein ${}R$-Erzeugendensystem für ${}V$ bilden, wenn deren Restklassen in ${}V/{\mathfrak {m}}V$ ein ${}R/{\mathfrak {m}}$-Erzeugendensystem von ${}V/{\mathfrak {m}}V$ bilden. Dabei ist die eine Richtung trivial, seien also Elemente ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ gegeben, die modulo ${}{\mathfrak {m}}$ ein Erzeugendensystem sind. Es sei ${}U\subseteq V$ der von den ${}v_{i}$ erzeugte ${}R$-Untermodul von ${}V$. Die Voraussetzung übersetzt sich zu ${}V=U+{\mathfrak {m}}V$. Wir betrachten den Restklassenmodul ${}V/U$. Dort gilt dann ${}(V/U){\mathfrak {m}}=V/U$, woraus nach dem Lemma von Nakayama die Gleichheit ${}V/U=0$ und ${}V=U$ folgt.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}},K)$ ein noetherscher lokaler Ring.

Dann ist die Einbettungsdimension gleich

${}\mu ({\mathfrak {m}})=\dim _{K}{\left({\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\right)}\,.$

Beweis

Dies folgt sofort aus dem Lemma von Nakayama angewandt auf das Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ und den endlich erzeugten ${}R$-Modul ${}{\mathfrak {m}}$.

$\Box$

Den in der vorstehenden Aussage auftretenden ${}R$-Modul ${}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$, der ein Vektorraum über ${}R/{\mathfrak {m}}$ ist, nennt man auch den Kotangentialraum des lokalen Ringes.

Lemma

Es sei ${}R$ ein noetherscher kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {n}}$ ein maximales Ideal. Es sei ${}S=R_{\mathfrak {n}}$ die Lokalisierung an ${}{\mathfrak {n}}$ mit dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}={\mathfrak {n}}R_{\mathfrak {n}}$.

Dann ist

${}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\cong {\mathfrak {n}}/{\mathfrak {n}}^{2}\,.$

Insbesondere ist die Einbettungsdimension der Lokalisierung gleich ${}\operatorname {dim} _{R/{\mathfrak {n}}}\,({\mathfrak {n}}/{\mathfrak {n}}^{2})$.

Beweis

Nach Aufgabe 22.2 ist ${}R/{\mathfrak {n}}\cong R_{\mathfrak {n}}/{\mathfrak {m}}$, sodass der gleiche Restklassenkörper vorliegt. Der natürliche ${}R$- Modulhomomorphismus ${}{\mathfrak {n}}\rightarrow {\mathfrak {m}}$ induziert einen ${}K$- Vektorraumhomomorphismus

${\mathfrak {n}}/{\mathfrak {n}}^{2}\longrightarrow {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2},$

der surjektiv ist, da ${}R$- Modulerzeuger von ${}{\mathfrak {n}}$ auf ${}R_{\mathfrak {n}}$-Erzeuger von ${}{\mathfrak {m}}$ abbilden, und diese modulo ${}{\mathfrak {m}}^{2}$ ein ${}K$-Vektorraum-Erzeugendensystem ergeben.

Zum Beweis der Injektivität sei ${}f\in {\mathfrak {n}}$ ein Element, das rechts auf ${}0$ abgebildet wird. D.h. es gilt ${}f\in {\mathfrak {m}}^{2}$ in der Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {n}}$. Dies bedeutet, dass es Elemente $g_{1},\ldots ,g_{n}\in {\mathfrak {n}}$ und $h_{1},\ldots ,h_{n}\in {\mathfrak {n}}$ und Elemente ${}q_{i}={\frac {a_{i}}{s_{i}}}\in R_{\mathfrak {n}}$ (also mit $s_{i}\not \in {\mathfrak {n}}$ und $a_{i}\in R$) mit

${}f={\frac {a_{1}}{s_{1}}}g_{1}h_{1}+\cdots +{\frac {a_{n}}{s_{n}}}g_{n}h_{n}\,$

gibt. Dies bedeutet zurückübersetzt nach ${}R$, dass es ein Element ${}s\not \in {\mathfrak {n}}$ mit

${}sf=b_{1}g_{1}h_{1}+\cdots +b_{n}g_{n}h_{n}\,$

für gewisse ${}b_{i}\in R$ gibt. Da ${}s$ nicht zum maximalen Ideal ${}{\mathfrak {n}}$ gehört, gibt es $r\in R$ und $g\in {\mathfrak {n}}$ mit ${}g+rs=1$. Wir multiplizieren die obige Gleichung mit ${}r$ und erhalten

${}(1-g)f=r{\left(b_{1}g_{1}h_{1}+\cdots +b_{n}g_{n}h_{n}\right)}\,$

bzw.

${}f=r{\left(b_{1}g_{1}h_{1}+\cdots +b_{n}g_{n}h_{n}\right)}+gf\,.$

Dabei gehört die rechte Seite offensichtlich zu ${}{\mathfrak {n}}^{2}$, und damit definiert ${}f$ das Nullelement in ${}{\mathfrak {n}}/{\mathfrak {n}}^{2}$.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}M$ ein numerisches Monoid, das von teilerfremden natürlichen Zahlen erzeugt sei. Es sei ${}R=K[M]$ der zugehörige Monoidring mit dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {n}}=(M_{+})$ und der Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {n}}$.

Dann ist die numerische Einbettungsdimension von ${}M$ (bzw. $K[M]$) gleich der Einbettungsdimension des lokalen Rings ${}R_{\mathfrak {n}}$.

Beweis

Es ist ${}{\mathfrak {n}}=(M_{+})=\bigoplus _{m\in M_{+}}K\,T^{m}$ und ${}{\mathfrak {n}}^{2}=(2M_{+})=\bigoplus _{m\in 2M_{+}}K\,T^{m}$. Der Restklassenraum ist daher

${}{\mathfrak {n}}/{\mathfrak {n}}^{2}=\bigoplus _{m\in M_{+}\setminus 2M_{+}}K\,T^{m}\,.$

Dessen ${}K$-Dimension ist also gleich der Anzahl der Elemente aus ${}M_{+}\setminus 2M_{+}$. Nach Korollar 18.3 ist ${}M_{+}\setminus 2M_{+}$ das minimale Monoiderzeugendensystem von ${}M$, sodass die ${}K$-Dimension gleich der numerischen Einbettungsdimension ist.

Andererseits ist nach Lemma 22.4 die ${}K$-Dimension von ${}{\mathfrak {n}}/{\mathfrak {n}}^{2}$ gleich der Einbettungsdimension des zugehörigen lokalen Rings ${}R_{\mathfrak {n}}$.

$\Box$

Glatte und singuläre Punkte

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}F\in K[X,Y]$, ${}F\neq 0$, ein Polynom ohne mehrfache Faktoren (da wir uns nur für die zugehörige Kurve interessieren, ist dies bei einem algebraisch abgeschlossenen Körper aufgrund des Hilbertschen Nullstellensatzes keine Einschränkung). Für jeden Punkt ${}(a,b)\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}$, kann man zu den Variablen $X-a$ und $Y-b$ übergehen. Das bedeutet, dass man den Punkt in den Ursprung verschiebt. Für das Verhalten eines Polynoms an einem Punkt kann man sich also stets auf den Ursprungspunkt beschränken.

Sei also ${}P=(0,0)$. Wir schreiben ${}F$ mit homogenen Komponenten als

${}F=F_{d}+F_{d-1}+\cdots +F_{1}+F_{0}\,.$

Hier sind die ${}F_{i}$ homogen vom Grad ${}i$. Was kann man an den einzelnen homogenen Komponenten ablesen? Zunächst gilt trivialerweise die Beziehung

$P\in V(F){\text{ genau dann, wenn }}F_{0}=0.$

Wenn man die Koordinaten von ${}P$, also ${}(0,0)$, in ${}F$ einsetzt, so werden ja alle höheren Komponenten zu ${}0$ gemacht, und lediglich die konstante Komponente ${}F_{0}$ bleibt übrig. Da wir uns hauptsächlich für das Verhalten der Kurve in einem Kurvenpunkt interessieren, werden wir uns häufig auf die Situation ${}F_{0}=0$ beschränken. Was ist dann die erste homogene Komponente ${}F_{i}$, die nicht ${}0$ ist? Welche Rolle spielt dieses ${}i$ und welche Rolle spielen dessen Linearfaktoren?

Nehmen wir zunächst an, dass $F_{0}=0$ und $F_{1}=aX+bY$ ist. Diese Linearform (die ${}0$ sein kann) lässt sich auch mit partiellen Ableitungen charakterisieren, es ist nämlich

${\frac {\partial F}{\partial x}}(P)=a{\text{ und }}{\frac {\partial F}{\partial y}}(P)=b.$

Hier und im Folgenden werden Polynome einfach formal abgeleitet. Damit ist auch $F_{1}=0$ genau dann, wenn ${\frac {\partial F}{\partial x}}(P)={\frac {\partial F}{\partial y}}(P)=0$ ist. Wenn dies nicht der Fall ist, so ist es naheliegend, die durch die Gleichung ${}F_{1}(X,Y)=0$ definierte Gerade als Tangente an die Kurve im Punkt ${}P$ anzusehen. Ein erstes Indiz dafür ist, dass im linearen Fall ${}F=F_{1}$ die Gerade mit ihrer Tangente zusammenfallen soll.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}F\in K[X,Y]$ ein von ${}0$ verschiedenes Polynom. Es sei ${}P\in C=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve. Dann heißt ${}P$ ein glatter Punkt von ${}C$, wenn

${\frac {\partial F}{\partial X}}(P)\neq 0{\text{ oder }}{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)\neq 0$

gilt. Andernfalls heißt der Punkt singulär.

Die Kurve heißt glatt, wenn sie in jedem ihrer Punkte glatt ist.

Definition

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}F\in K[X,Y]$ ein von ${}0$ verschiedenes Polynom. Es sei ${}P\in C=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve, der (nach einer linearen Variablentransformation) der Nullpunkt sei. Es sei

${}F=F_{d}+F_{d-1}+\cdots +F_{m}\,$

die homogene Zerlegung von ${}F$ mit ${}F_{d}\neq 0$ und ${}F_{m}\neq 0$, ${}d\geq m$. Dann heißt ${}m$ die Multiplizität der Kurve im Punkt ${}P$. Sei ${}F_{m}=G_{1}\cdots G_{m}$ die Zerlegung in lineare Faktoren. Dann nennt man jede Gerade $V(G_{i}),\,i=1,\ldots ,m$, eine Tangente an ${}C$ im Punkt ${}P$. Die Vielfachheit von ${}G_{i}$ in ${}F_{m}$ nennt man auch die Multiplizität der Tangente.

Der Punkt ist genau dann glatt, wenn die Multiplizität ${}1$ ist. In diesem Fall gibt es genau eine Tangente durch den Punkt, deren Steigung man über die partiellen Ableitungen berechnen kann.

Geraden, die sich im Punkt ${}(0,1)$ schneiden

Beispiel

Es seien ${}d$ verschiedene Geraden ${}L_{1},\ldots ,L_{d}$ in der affinen Ebene gegeben, die alle durch den Nullpunkt laufen mögen. Es seien $a_{i}X+b_{i}Y=0,\,i=1,\ldots ,d$, die zugehörigen Gleichungen (die nur bis auf einen Skalar definiert sind). Die Vereinigung dieser Geraden wird dann durch das Produkt

${}F=(a_{1}X+b_{1}Y)\cdots (a_{d}X+b_{d}Y)\,$

beschrieben. Insbesondere ist ${}F=F_{d}$ homogen vom Grad ${}d$. Hier definiert jeder Linearfaktor eine Tangente durch den Nullpunkt.

Beispiel

Rene Descartes (1596-1650)

Das Kartesische Blatt wird durch die Gleichung ${}F=X^{3}+Y^{3}-3XY=0$ beschrieben (die ${}3$ ist dabei nicht wichtig, und könnte durch eine andere Zahl ${}\neq 0$ ersetzt werden). Die homogenen Bestandteile der Kurvengleichung sind ${}F_{3}=X^{3}+Y^{3}$ und ${}F_{2}=-3XY$. Damit hat der Nullpunkt des Kartesischen Blattes die Multiplizität zwei und ist singulär, und sowohl die ${}X$- als auch die ${}Y$-Achse sind Tangenten (mit einfacher Multiplizität). An den übrigen Punkten ist die Kurve glatt (der Grundkörper habe nicht die Charakteristik ${}3$): aus

${\frac {\partial F}{\partial X}}=3X^{2}-3Y=0{\text{ und }}{\frac {\partial F}{\partial Y}}=3Y^{2}-3X=0$

folgt $Y=X^{2}$ und $X=Y^{2}$, also auch ${}Y=Y^{4}$ (ebenso für ${}X$). Dann ist ${}Y=X=0$ oder ${}X$ und ${}Y$ sind beide eine dritte Einheitswurzel (und zwar sind beide ${}1$ oder es sind die beiden anderen dritten Einheitswurzeln). An diesen anderen Verschwindungsstellen der beiden partiellen Ableitungen hat aber ${}F$ den Wert ${}-1$, diese sind also keine Punkte der Kurve.

Bemerkung  

Für einen glatten Punkt ${}P\in C=V(F)$ einer ebenen algebraischen Kurve ist die Multiplizität ${}m=1$. Bei ${}P=(0,0)$ ist also der lineare Term der Kurvengleichung ${}F_{1}=uX+vY=0$ und es ist

${\frac {\partial F}{\partial X}}(P)=u\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)=v$

(da die höheren homogenen Komponenten von ${}F$ keinen Beitrag zu den partiellen Ableitungen im Nullpunkt leisten). Diese lineare Gleichung ist also die Tangentengleichung. Auch für einen beliebigen glatten Punkt ${}P=(a,b)\in C$ kann man aus den partiellen Ableitungen von ${}F$ in ${}P$ direkt die Tangentengleichung ablesen, und zwar ist die Tangente durch

${}{\frac {\partial F}{\partial X}}(P)(X-a)+{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)(Y-b)=0\,$

gegeben.

Bemerkung  

Es sei ${}F\in K[X,Y]$ mit zugehöriger ebener algebraischer Kurve ${}C$ und sei ${}P\in C=V(F)$ ein glatter Punkt der Kurve. Zu

$F\colon {\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}$

und dem Punkt ${}P$ gehört die durch die partiellen Ableitungen definierte lineare Tangentialabbildung (das totale Differential) zwischen den zugehörigen Tangentialräumen, also

$T_{P}F={\left({\frac {\partial F}{\partial X}}(P),{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)\right)}:T_{P}\mathbb {A} _{K}^{2}\cong \mathbb {A} _{K}^{2}\longrightarrow T_{F(P)}\mathbb {A} _{K}^{1}=T_{0}\mathbb {A} _{K}^{1}\cong \mathbb {A} _{K}^{1}{\text{ mit }}(s,t)\longmapsto {\frac {\partial F}{\partial X}}(P)s+{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)t.$

Da ${}P$ ein glatter Punkt ist, ist diese lineare Abbildung nicht die Nullabbildung. Die (Richtung der) Tangente von ${}C$ an ${}P$ ist der Kern dieser Tangentialabbildung (wobei man bei der Identifizierung der Tangentialebene in ${}P$ mit der umgebenden affinen Ebene den Punkt ${}P$ mit dem Nullpunkt identifizieren muss. Die Tangente muss ja durch den Punkt gehen, der Kern gibt nur eine lineare Richtung vor).

Bei einer algebraischen Kurve sind die Schnittpunkte von irreduziblen Komponenten niemals glatt.

Die folgenden beiden Ausssagen zeigen, dass ein Kreuzungspunkt zweier irreduzibler Komponenten niemals glatt sein kann.

Lemma

Es sei ${}C=V(F)$ eine ebene algebraische Kurve und ${}F=F_{1}\cdots F_{n}$ die Zerlegung in verschiedene Primfaktoren. Es sei ${}P\in C$ ein glatter Punkt der Kurve.

Dann liegt ${}P$ auf nur einer Komponente ${}C_{i}=V(F_{i})$ der Kurve.

Beweis

Siehe Aufgabe 22.11.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}C\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ eine (Zariski)-zusammenhängende ebene glatte algebraische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$.

Dann ist ${}C$ irreduzibel.

Beweis

Aufgrund von Lemma 22.12 sind die irreduziblen Komponenten der Kurve disjunkt. Dies sind dann aber auch die Zusammenhangskomponenten der Kurve. Also gibt es nur eine irreduzible Komponente und daher ist die Kurve irreduzibel.

$\Box$

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