Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 3/latex

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\setcounter{section}{3}






\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die nicht-leeren \definitionsverweis {Zariski-offenen}{}{} Teilmengen auf der \definitionsverweis {affinen Geraden}{}{} ${\mathbb A}^{1}_{K}$ genau die \zusatzklammer {maximalen} {} {} Definitionsbereiche von \definitionsverweis {rationalen Funktionen}{}{} sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein unendlicher \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei
\mathl{P \in K[X]}{} ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die durch $P$ definierte Funktion \maabb {P} {K} {K } {} unendlich viele Werte annimmt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Skizziere die reellen Nullstellengebilde von
\mathl{Y^n-X^n}{} und bestimme das Verschwindungsideal zu den affin-algebraischen Mengen
\mathl{V_n \subset \mathbb A^2_{\mathbb R}}{,} die aus allen Geraden durch den Nullpunkt und durch die Eckpunkte eines regulären $n$-Ecks (mit $(1,0)$ als einem Eck) besteht.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man beschreibe eine Abbildung \maabbdisp {\varphi} { {\mathbb A}^{1}_{K} } {{\mathbb A}^{1}_{K} } {,} die bezüglich der \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{} stetig ist, die aber nicht durch ein Polynom gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V }
{ \subseteq} { { {\mathbb A}_{ {\mathbb C} }^{ n } } }
{ =} { {\mathbb C}^n }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {affin-algebraische}{}{} Menge. Zeige, dass unter der Identifizierung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb C}^n }
{ =} { \R^{2n} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Teilmenge $V$ auch eine affin-algebraische Menge des ${ {\mathbb A}_{ \R }^{ 2n } }$ ist. Zeige, dass die Umkehrung nicht gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine nichtleere Teilmenge. Zeige, dass durch
\mathdisp {d_T(x) \defeq \inf { \left( d(x,y), \, y \in T \right) }} { }
eine wohldefinierte, \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} \maabb {} {M } {\R } {} gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge. Zeige, dass $T$ genau dann \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist, wenn es eine \definitionsverweis {stetige}{}{} Funktion \maabb {f} {M} {\R } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{-1}(0) }
{ =} {T }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die offenen und die abgeschlossenen Bälle \mathkor {} {U { \left( P,r \right) }} {bzw.} {B \left( P,r \right)} {} im $\R^n$ zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nicht offen bzw. abgeschlossen in der \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{} sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Charakterisiere in $\Z$ die Radikale mit Hilfe der Primfaktorzerlegung.

}
{} {}


Ein Element $a$ eines \definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{} $R$ heißt \definitionswort {nilpotent}{,} wenn
\mathl{a^n=0}{} ist für eine natürliche Zahl $n$.





\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und es seien
\mathl{f,g \in R}{} \definitionsverweis {nilpotente Elemente}{}{.} Zeige, dass dann die Summe $f+g$ ebenfalls nilpotent ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{f \in R}{} ein \definitionsverweis {nilpotentes Element}{}{.} Zeige, dass $1+f$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $r\in R$ ein \definitionsverweis {nilpotentes}{}{} Element. Konstruiere dazu ein lineares Polynom in $R[X]$, das eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist. Man gebe auch das \definitionsverweis {Inverse}{}{} dazu an.

}
{} {}


Ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} $R$ heißt \definitionswort {reduziert}{,} wenn $0$ das einzige \definitionsverweis {nilpotente Element}{}{} von $R$ ist.





\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} ${\mathfrak a}$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ genau dann ein \definitionsverweis {Radikal}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/ {\mathfrak a}$ \definitionsverweis {reduziert}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Potenzen}{}{}
\mathl{{\mathfrak a}^n,\, n \in \N_+}{,} alle dasselbe \definitionsverweis {Radikal}{}{} besitzen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein Primideal ein Radikal ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Seien $R$ und $S$ \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und sei
\mathl{\varphi: R \rightarrow S}{} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.} Sei ${\mathfrak a}$ ein \definitionsverweis {Radikal}{}{} in $S$. Zeige, dass das Urbild
\mathl{\varphi^{-1}( {\mathfrak a})}{} ein Radikal in $R$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Seien $\mathfrak a$ und $\mathfrak b$ zwei Ideale in
\mathl{K[X_1, \ldots, X_n]}{} derart, dass ihre Radikale gleich sind. Zeige, dass dann auch ihre Nullstellenmengen übereinstimmen. Zeige durch ein Beispiel, dass die Umkehrung nicht stimmt.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Sei \maabbdisp {\varphi} {{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ m } } } {} eine Abbildung, die durch $m$ Polynome in $n$ Variablen gegeben sei. Zeige, dass $\varphi$ stetig bezüglich der \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein unendlicher Körper. Zeige, dass jede nichtleere \definitionsverweis {Zariski-offene}{}{} Menge
\mathl{U \subseteq \mathbb A^n_K}{} \definitionsverweis {dicht}{}{} ist.

}
{} {Tipp: Induktion über $n$.}




\inputaufgabe
{5}
{

Bestimme zu den folgenden Teilmengen der affinen Ebene $\mathbb A^2_K$ den \definitionsverweis {Zariski-Abschluss}{}{.} \aufzaehlungfuenf{
\mathl{{ \left\{ (x, \sin (x)) \mid x \in \R \right\} }}{,} }{
\mathl{{ \left\{ (\cos (x), \sin (x)) \mid x \in \R \right\} }}{,} }{
\mathl{{ \left\{ (x,x^3) \mid 0 \leq x \leq 1 , \, x \in \R \right\} }}{,} }{
\mathl{{ \left\{ (x,x^3) \mid 0 \leq x \leq 1 , \, x \in \Q \right\} }}{,} }{
\mathl{{ \left\{ (x,x^3) \mid x \in \Z/(5) \right\} }}{.} }

}
{} {}

Die folgende Aufgabe benutzt einige weiterführende topologische Begriffe.


\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein Körper. \aufzaehlungvier{Man zeige, dass für
\mathl{K = \R}{} bzw.
\mathl{K = {\mathbb C}}{} die Standardtopologie \zusatzklammer {die metrische oder euklidische Topologie} {} {} feiner ist als die \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{.} }{Man zeige, dass für $K[X]$ die Zariski-Topologie mit der \definitionsverweis {kofiniten Topologie}{}{} übereinstimmt. Gilt dies auch für
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} mit
\mathl{n > 1}{?} }{Wann ist die Zariski-Topologie $T_1$, wann ist sie \definitionsverweis {hausdorffsch}{}{?} }{Wie sieht die Zariski-Topologie aus, wenn $K$ ein endlicher Körper ist? }

}
{} {}


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