Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 3/latex
\setcounter{section}{3}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die nicht-leeren \definitionsverweis {Zariski-offenen}{}{} Teilmengen auf der \definitionsverweis {affinen Geraden}{}{} ${\mathbb A}^{1}_{ K }$ genau die \zusatzklammer {maximalen} {} {} Definitionsbereiche von \definitionsverweis {rationalen Funktionen}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein unendlicher
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die durch $P$ definierte Funktion
\maabb {P} { K } { K
} {}
unendlich viele Werte annimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\aufzaehlungzweiabc{Skizziere die reellen Nullstellengebilde von
\mathl{Y^n-X^n}{}
}{Bestimme das Verschwindungsideal zu den affin-algebraischen Mengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V_n
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{\R}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die aus allen Geraden durch den Nullpunkt und durch die Eckpunkte eines regulären $n$-Ecks (mit $(1,0)$ als einem Eck) besteht.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man beschreibe eine Abbildung \maabbdisp {\varphi} { {\mathbb A}^{1}_{ K } } { {\mathbb A}^{1}_{ K } } {,} die bezüglich der \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{} stetig ist, die aber nicht durch ein Polynom gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq} { { {\mathbb A}_{ {\mathbb C} }^{ n } }
}
{ =} { {\mathbb C}^n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {affin-algebraische}{}{}
Menge. Zeige, dass unter der Identifizierung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb C}^n
}
{ =} { \R^{2n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Teilmenge $V$ auch eine affin-algebraische Menge des ${ {\mathbb A}_{ \R }^{ 2n } }$ ist. Zeige, dass die Umkehrung nicht gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine nichtleere Teilmenge. Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d_T(x)
}
{ \defeq} { \inf { \left( d(x,y), \, y \in T \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine wohldefinierte,
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
\maabb {} { M } {\R
} {}
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Zeige, dass $T$ genau dann
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
ist, wenn es eine
\definitionsverweis {stetige}{}{}
Funktion
\maabb {f} { M } {\R
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{-1}(0)
}
{ =} { T
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die offenen und die abgeschlossenen Bälle
\mathkor {} {U { \left( P ,r \right) }} {bzw.} {B \left( P ,r \right)} {}
im $\R^n$ zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht offen bzw. abgeschlossen in der
\definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Charakterisiere in $\Z$ die Radikale mit Hilfe der Primfaktorzerlegung.
}
{} {}
Ein Element $a$ eines
\definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{}
$R$ heißt \definitionswort {nilpotent}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a^n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für eine natürliche Zahl $n$ ist.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {nilpotente Elemente}{}{.}
Zeige, dass dann die Summe $f+g$ ebenfalls nilpotent ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {nilpotentes Element}{}{.}
Zeige, dass $1+f$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $r\in R$ ein \definitionsverweis {nilpotentes}{}{} Element. Konstruiere dazu ein lineares Polynom in $R[X]$, das eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist. Man gebe auch das \definitionsverweis {Inverse}{}{} dazu an.
}
{} {}
Ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} $R$ heißt \definitionswort {reduziert}{,} wenn $0$ das einzige \definitionsverweis {nilpotente Element}{}{} von $R$ ist.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} ${\mathfrak a}$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ genau dann ein \definitionsverweis {Radikal}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/ {\mathfrak a}$ \definitionsverweis {reduziert}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Potenzen}{}{}
\mathl{{\mathfrak a}^n,\, n \in \N_+}{,} alle dasselbe
\definitionsverweis {Radikal}{}{}
besitzen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $R$ und $S$
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} { R } { S
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.}
Es sei ${\mathfrak a}$ ein
\definitionsverweis {Radikal}{}{}
in $S$. Zeige, dass das Urbild
\mathl{\varphi^{-1}( {\mathfrak a} )}{} ein Radikal in $R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien ${\mathfrak a}$ und ${\mathfrak b}$
\definitionsverweis {Ideale}{}{}
in
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} derart, dass ihre
\definitionsverweis {Radikale}{}{}
gleich sind. Zeige, dass dann auch ihre
\definitionsverweis {Nullstellenmengen}{}{}
übereinstimmen. Zeige durch ein Beispiel, dass die Umkehrung nicht stimmt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei \maabbdisp {\varphi} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ m } } } {} eine Abbildung, die durch $m$ Polynome in $n$ Variablen gegeben sei. Zeige, dass $\varphi$ stetig bezüglich der \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein unendlicher Körper. Zeige, dass jede nichtleere
\definitionsverweis {Zariski-offene}{}{}
Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {dicht}{}{}
ist.
}
{} {Tipp: Induktion über $n$.}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestimme zu den folgenden Teilmengen der affinen Ebene $\mathbb A^2_K$ den
\definitionsverweis {Zariski-Abschluss}{}{.}
\aufzaehlungfuenf{
\mathl{{ \left\{ (x, \sin (x)) \mid x \in \R \right\} }}{,}
}{
\mathl{{ \left\{ (\cos (x), \sin (x)) \mid x \in \R \right\} }}{,}
}{
\mathl{{ \left\{ (x,x^3) \mid 0 \leq x \leq 1 , \, x \in \R \right\} }}{,}
}{
\mathl{{ \left\{ (x,x^3) \mid 0 \leq x \leq 1 , \, x \in \Q \right\} }}{,}
}{
\mathl{{ \left\{ (x,x^3) \mid x \in \Z/(5) \right\} }}{.}
}
}
{} {}
Die folgende Aufgabe benutzt einige weiterführende topologische Begriffe.
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
\aufzaehlungvier{Man zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Standardtopologie
\zusatzklammer {die metrische oder euklidische Topologie} {} {}
feiner ist als die
\definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{}
auf
\mathl{{\mathbb A}^{1}_{K}}{.}
}{Man zeige, dass für ${\mathbb A}^{1}_{K}$ die Zariski-Topologie mit der
\definitionsverweis {kofiniten Topologie}{}{}
übereinstimmt. Gilt dies auch für
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{?}
}{Wann erfülltt die Zariski-Topologie auf
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} die Eigenschaft $T_1$, wann ist sie
\definitionsverweis {hausdorffsch}{}{?}
}{Wie sieht die Zariski-Topologie auf
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} aus, wenn $K$ ein endlicher Körper ist?
}
}
{} {}
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