Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 4

Übungsaufgaben

Aufgabe

Finde ein Ideal, dessen Nullstellenmenge das folgende Gebilde ist.

Aufgabe

Es sei  $V\subseteq {𝔸}_K^n$  eine Teilmenge, die aus endlich vielen Punkten bestehe. Zeige: $V$ ist genau dann irreduzibel, wenn $V$ einpunktig ist.

Aufgabe

Skizziere ein Beispiel einer zusammenhängenden, aber nicht irreduziblen affin-algebraischen Teilmenge.

Aufgabe

Bestimme die irreduziblen Komponenten der reellen Hyperbel.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $\ne 2$ und  $a\in K$  von $0$ verschieden. Zeige, dass das Polynom

$X^2+Y^2+a\in K[X,Y]$

irreduzibel ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und  $𝔭=(p)\subseteq K[X]$  ein Primideal. Zeige, dass die Verschwindungsmenge  $V(𝔭)\subseteq {𝔸}_K^1$  der gesamte ${𝔸}_K^1$ (wobei irreduzibel vom Körper abhängt) oder aber einpunktig (und damit irreduzibel) ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein endlicher Körper und $𝔭\subset K[X_1,\dots ,X_n]$ ein Primideal. Zeige, dass die Verschwindungsmenge $V(𝔭)\subseteq {𝔸}_K^n$ nur dann irreduzibel ist, wenn sie einpunktig ist.

Aufgabe

Zeige, dass das reelle Polynom

$P=X^2(X-1{)}^2+Y^2(X^2+(X-1{)}^2)\in ℝ[X,Y]$

ein Primpolynom ist, und dass die Nullstellenmenge

$V(P)\subseteq {ℝ}^2$

nicht leer, aber reduzibel ist.

Aufgabe

Berechne in ${𝔸}_{ℝ}^3$ den Schnitt des Zylinders $V(x^2+y^2-1)$ mit der Kugel mit Mittelpunkt  $P=(0,0,0)$  und Radius $r$ in Abhängigkeit von $r$. Wann ist der Durchschnitt leer, wann irreduzibel?

Man darf verwenden, dass der reelle Kreis irreduzibel ist.

Aufgabe

Betrachte die Menge der reellen Zahlen $ℝ$ mit der metrischen Topologie. Ist $ℝ$ irreduzibel?

Aufgabe *

Es sei $p$ eine Primzahl und $\mathbb{Z}/(p)$ der zugehörige Restklassenkörper. Zeige: Jede Quadrik der Form

$F=a{X}^2+b{Y}^2+c=0$

mit  $a,b\ne 0$  hat mindestens eine Lösung in $\mathbb{Z}/(p)$.

Aufgabe *

Es sei $𝔞$ ein Ideal in einem kommutativen Ring $R$. Zeige, dass $𝔞$ genau dann ein Primideal ist, wenn $𝔞$ der Kern eines Ringhomomorphismus $\phi :R\to K$ in einen Körper $K$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass ein maximales Ideal $𝔪$ in einem kommutativen Ring $R$ ein Primideal ist.

Aufgabe *

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $𝔭$ ein Ideal. Zeige, dass $𝔭$ genau dann ein Primideal ist, wenn der Restklassenring $R/𝔭$ ein Integritätsbereich ist.

Aufgabe

Es sei  $𝔭\subseteq R$  ein Primideal in einem kommutativen Ring $R$. Zeige, dass aus einer Inklusionsbeziehung

$𝔞\cap 𝔟\subseteq 𝔭$

die Inklusion  $𝔞\subseteq 𝔭$  oder  $𝔟\subseteq 𝔭$  folgt.

Aufgabe

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und sei $\phi :R\to S$ ein Ringhomomorphismus. Es sei $𝔭$ ein Primideal in $S$. Zeige, dass das Urbild ${\phi }^{-1}(𝔭)$ ein Primideal in $R$ ist.

Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines maximalen Ideales kein maximales Ideal sein muss.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und  $L=K(X)$  der Quotientenkörper des Polynomrings $K[X]$. Zeige, dass es unendlich viele Zwischenkörper zwischen $K$ und $L$ gibt.

Aufgabe

Erkläre, wo der Beweis zu Satz 4.8 zusammenbricht, wenn man ihn auf mehr als zwei Variablen ausdehnen will.

Aufgabe

Es seien $P(X)$ und $Q(Y)$ nichtkonstante Polynome in der einen angegebenen Variablen. Man gebe eine Abschätzung (unter welcher Bedingung?) für die Anzahl der Schnittpunkte der beiden Kurven $V(Y-P(X))$ und $V(X-Q(Y))$.

In den folgenden Aufgabe werden die Begriffe abgeschlossene Abbildung und offene Abbildung verwendet.

Eine stetige Abbildung

$f:X⟶Y$

zwischen topologischen Räumen $X$ und $Y$ heißt abgeschlossen, wenn Bilder von abgeschlossenen Mengen wieder abgeschlossen sind.

Sie heißt offen, wenn Bilder von offenen Mengen wieder offen sind.

Aufgabe

Zeige, dass die Projektion

${𝔸}_K^2⟶{𝔸}_K^1,(x,y)⟼x,$

nicht abgeschlossen in der Zariski-Topologie ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine ebene algebraische Kurve über den komplexen Zahlen $ℂ$ nicht kompakt in der metrischen Topologie ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei $p$ eine Primzahl $\ge 3$ und  $K=\mathbb{Z}/(p)$  der zugehörige Restklassenkörper. Es sei ein Polynom  $F\in \mathbb{Z}/(p)[X,Y]$  der Form

$F=\alpha X^2+\beta XY+\gamma Y^2+\delta X+ϵY+\eta$

gegeben. Zeige, dass für das zugehörige Nullstellengebilde  $V(F)\subseteq {𝔸}_K^2$  (wenn $\alpha ,\beta ,\gamma$ nicht alle $0$ sind, so ist das eine Quadrik) die folgenden drei Alternativen bestehen.

1. $V(F)$ besitzt mindestens einen Punkt.
2.  $F=c$  mit einer Konstanten  $c\ne 0$. 
3. Es gibt eine Variablentransformation derart, dass das Polynom in den neuen Koordinaten die Gestalt $Z^2-u$ mit einem Nichtquadrat  $u\in \mathbb{Z}/(p)$  besitzt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $V$ eine irreduzible, affin-algebraische Menge mit mindestens zwei Punkten und seien  $P_1,\dots ,P_m\in V$  endlich viele Punkte darin. Zeige, dass dann auch $V\setminus \{P_1,\dots ,P_m\}$ (in der induzierten Topologie) irreduzibel ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $R$ ein faktorieller Integritätsbereich mit Quotientenkörper $Q(R)$. Zeige: Wenn  $F,G\in R[X]$  keinen gemeinsamen (nichtkonstanten) Teiler besitzen, so besitzen sie aufgefasst in $Q(R)[X]$ ebenfalls keinen gemeinsamen Teiler.

(Man darf sich auf Hauptidealbereiche $R$ beschränken.)

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei  $K=\mathbb{Q}$  der Körper der rationalen Zahlen. Begründe, ob

$V(X^2+Y^2-1)\subseteq {𝔸}_{\mathbb{Q}}^2$

irreduzibel ist oder nicht.

Tipp: Man verwende Aufgabe 1.26 und Korollar 4.9.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Projektion

${𝔸}_K^2⟶{𝔸}_K^1,(x,y)⟼x,$

offen in der Zariski-Topologie ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die affine Ebene ${𝔸}_K^2$ mit der Zariski-Topologie kompakt ist.