Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 4

Übungsaufgaben

Aufgabe

Finde ein Ideal, dessen Nullstellenmenge das folgende Gebilde ist.

Aufgabe

Es sei ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine Teilmenge, die aus endlich vielen Punkten bestehe. Zeige: ${}V$ ist genau dann irreduzibel, wenn ${}V$ einpunktig ist.

Aufgabe

Skizziere ein Beispiel einer zusammenhängenden, aber nicht irreduziblen affin-algebraischen Teilmenge.

Aufgabe

Bestimme die irreduziblen Komponenten der reellen Hyperbel.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}\neq 2$ und ${}a\in K$ von ${}0$ verschieden. Zeige, dass das Polynom

$X^{2}+Y^{2}+a\in K[X,Y]\,$

irreduzibel ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}{\mathfrak {p}}=(p)\subset K[X]$ ein Primideal. Zeige, dass die Verschwindungsmenge ${}V({\mathfrak {p}})\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{1}$ leer (und damit nicht irreduzibel) oder aber einpunktig (und damit irreduzibel) ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper und ${}{\mathfrak {p}}\subset K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Primideal. Zeige, dass die Verschwindungsmenge ${}V({\mathfrak {p}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ nur dann irreduzibel ist, wenn sie einpunktig ist.

Aufgabe

Zeige, dass das reelle Polynom

$P=X^{2}(X-1)^{2}+Y^{2}{\left(X^{2}+(X-1)^{2}\right)}\in \mathbb {R} [X,Y]$

ein Primpolynom ist, und dass die Nullstellenmenge

${}V(P)\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,$

nicht leer, aber reduzibel ist.

Aufgabe

Berechne in ${}\mathbb {A} _{\mathbb {R} }^{3}$ den Schnitt des Zylinders ${}V(x^{2}+y^{2}-1)$ mit der Kugel mit Mittelpunkt ${}P=(0,0,0)$ und Radius ${}r$ in Abhängigkeit von ${}r$. Wann ist der Durchschnitt leer, wann irreduzibel?

Man darf verwenden, dass der reelle Kreis irreduzibel ist.

Aufgabe

Betrachte die Menge der reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ mit der metrischen Topologie. Ist ${}\mathbb {R}$ irreduzibel?

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}\mathbb {Z} /(p)$ der zugehörige Restklassenkörper. Zeige: Jede Quadrik der Form

${}F=aX^{2}+bY^{2}+c=0\,$

mit ${}a,b\neq 0$ hat mindestens eine Lösung in ${}\mathbb {Z} /(p)$.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal in einem kommutativen Ring ${}R$. Zeige, dass ${}{\mathfrak {a}}$ genau dann ein Primideal ist, wenn ${}{\mathfrak {a}}$ der Kern eines Ringhomomorphismus ${}\varphi \colon R\rightarrow K$ in einen Körper ${}K$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass ein maximales Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ ein Primideal ist.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Ideal. Zeige, dass ${}{\mathfrak {p}}$ genau dann ein Primideal ist, wenn der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathfrak {p}}\subseteq R$ ein Primideal in einem kommutativen Ring ${}R$. Zeige, dass aus einer Inklusionsbeziehung

${}{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {p}}\,$

die Inklusion ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}$ oder ${}{\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {p}}$ folgt.

Aufgabe

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus. Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal in ${}S$. Zeige, dass das Urbild ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})$ ein Primideal in ${}R$ ist.

Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines maximalen Ideales kein maximales Ideal sein muss.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}L=K(X)$ der Quotientenkörper des Polynomrings ${}K[X]$. Zeige, dass es unendlich viele Zwischenkörper zwischen ${}K$ und ${}L$ gibt.

Aufgabe

Erkläre, wo der Beweis zu Satz 4.8 zusammenbricht, wenn man ihn auf mehr als zwei Variablen ausdehnen will.

Aufgabe

Es seien ${}P(X)$ und ${}Q(Y)$ nichtkonstante Polynome in der einen angegebenen Variablen. Man gebe eine Abschätzung (unter welcher Bedingung?) für die Anzahl der Schnittpunkte der beiden Kurven ${}V(Y-P(X))$ und ${}V(X-Q(Y))$.

In den folgenden Aufgabe werden die Begriffe abgeschlossene Abbildung und offene Abbildung verwendet.

Eine stetige Abbildung

$f\colon X\longrightarrow Y$

zwischen topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ heißt abgeschlossen, wenn Bilder von abgeschlossenen Mengen wieder abgeschlossen sind.

Sie heißt offen, wenn Bilder von offenen Mengen wieder offen sind.

Aufgabe

Zeige, dass die Projektion

${\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{}^{1},\,(x,y)\longmapsto x,$

nicht abgeschlossen in der Zariski-Topologie ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine ebene algebraische Kurve über den komplexen Zahlen ${}\mathbb {C}$ nicht kompakt in der metrischen Topologie ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl ${}\geq 3$ und ${}\mathbb {Z} /(p)$ der zugehörige Restklassenkörper. Es sei ein Polynom ${}F\in \mathbb {Z} /(p)[X,Y]$ der Form

${}F=\alpha X^{2}+\beta XY+\gamma Y^{2}+\delta X+\epsilon Y+\eta \,$

gegeben. Zeige, dass für das zugehörige Nullstellengebilde ${}V(F)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ (wenn ${}\alpha ,\beta ,\gamma$ nicht alle ${}0$ sind, so ist das eine Quadrik) die folgenden drei Alternativen bestehen.

1. ${}V(F)$ besitzt mindestens einen Punkt.
2. ${}F=c$ mit einer Konstanten ${}c\neq 0$.
3. Es gibt eine Variablentransformation derart, dass das Polynom in den neuen Koordinaten die Gestalt ${}Z^{2}-u$ mit einem Nichtquadrat ${}u\in \mathbb {Z} /(p)$ besitzt.

Aufgabe (3 Punkte)

Sei ${}V$ eine irreduzible, affin-algebraische Menge mit mindestens zwei Punkten und seien ${}P_{1},\ldots ,P_{m}\in V$ endlich viele Punkte darin. Zeige, dass dann auch ${}V\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{m}\}$ (in der induzierten Topologie) irreduzibel ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein faktorieller Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$. Zeige: Wenn ${}F,G\in R[X]$ keinen gemeinsamen Teiler besitzen, so besitzen sie aufgefasst in ${}Q(R)[X]$ ebenfalls keinen gemeinsamen Teiler.

(Man darf sich auf Hauptidealbereiche ${}R$ beschränken.)

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K=\mathbb {Q}$ der Körper der rationalen Zahlen. Begründe, ob

${}V(X^{2}+Y^{2}-1)\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {Q} }^{2}\,$

irreduzibel ist oder nicht.

Tipp: Man verwende Aufgabe 1.25 und Korollar 4.9.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Projektion

${\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1},\,(x,y)\longmapsto x,$

offen in der Zariski-Topologie ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die affine Ebene ${}\mathbb {A} _{K}^{2}$ mit der Zariski-Topologie kompakt ist.