Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 4

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Übungsaufgaben

Aufgabe

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Finde ein Ideal, dessen Nullstellenmenge das folgende Gebilde ist.


Aufgabe

Sei eine Teilmenge, die aus endlich vielen Punkten bestehe. Zeige: ist genau dann irreduzibel, wenn einpunktig ist.


Aufgabe

Skizziere ein Beispiel einer zusammenhängenden, aber nicht irreduziblen affin-algebraischen Teilmenge.


Aufgabe

Rectangular hyperbola.svg

Bestimme die irreduziblen Komponenten der reellen Hyperbel.


Aufgabe

Sei ein Körper der Charakteristik und von verschieden. Zeige, dass das Polynom

irreduzibel ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein Primideal. Zeige, dass die Verschwindungsmenge leer (und damit nicht irreduzibel) oder aber einpunktig (und damit irreduzibel) ist.


Aufgabe

Es sei ein endlicher Körper und ein Primideal. Zeige, dass die Verschwindungsmenge nur dann irreduzibel ist, wenn sie einpunktig ist.


Aufgabe

Zeige, dass das reelle Polynom

ein Primpolynom ist, und dass die Nullstellenmenge

nicht leer, aber reduzibel ist.


Aufgabe

Berechne in den Schnitt des Zylinders mit der Kugel mit Mittelpunkt und Radius in Abhängigkeit von . Wann ist der Durchschnitt leer, wann irreduzibel?

Man darf verwenden, dass der reelle Kreis irreduzibel ist.

Aufgabe

Betrachte die Menge der reellen Zahlen mit der metrischen Topologie. Ist irreduzibel?


Aufgabe

Sei eine Primzahl und der zugehörige Restklassenkörper. Zeige: Jede Quadrik der Form

mit hat mindestens eine Lösung in .


Aufgabe

Sei ein Ideal in einem kommutativen Ring . Zeige, dass genau dann ein Primideal ist, wenn der Kern eines Ringhomomorphismus in einen Körper ist.


Aufgabe

Zeige, dass ein maximales Ideal in einem kommutativen Ring ein Primideal ist.


Aufgabe *

Sei ein kommutativer Ring und ein Ideal. Zeige, dass genau dann ein Primideal ist, wenn der Restklassenring ein Integritätsbereich ist.


Aufgabe

Es sei ein Primideal in einem kommutativen Ring . Zeige, dass aus einer Inklusionsbeziehung

die Inklusion oder folgt.


Aufgabe

Seien und kommutative Ringe und sei ein Ringhomomorphismus. Sei ein Primideal in . Zeige, dass das Urbild ein Primideal in ist.

Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines maximalen Ideales kein maximales Ideal sein muss.


Aufgabe

Es sei ein Körper und der Quotientenkörper des Polynomrings . Zeige, dass es unendlich viele Zwischenkörper zwischen und gibt.


Aufgabe

Erkläre, wo der Beweis zu Satz 4.8 zusammenbricht, wenn man ihn auf mehr als zwei Variablen ausdehnen will.


Aufgabe

Es seien und nichtkonstante Polynome in der einen angegebenen Variablen. Man gebe eine Abschätzung (unter welcher Bedingung?) für die Anzahl der Schnittpunkte der beiden Kurven und .


In den folgenden Aufgabe werden die Begriffe abgeschlossene Abbildung und offene Abbildung verwendet.


Eine stetige Abbildung

zwischen topologischen Räumen und heißt abgeschlossen, wenn Bilder von abgeschlossenen Mengen wieder abgeschlossen sind.


Sie heißt offen, wenn Bilder von offenen Mengen wieder offen sind.

Aufgabe

Zeige, dass die Projektion

nicht abgeschlossen in der Zariski-Topologie ist.


Aufgabe

Zeige, dass eine ebene algebraische Kurve über den komplexen Zahlen nicht kompakt in der metrischen Topologie ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

Sei eine Primzahl und der zugehörige Restklassenkörper. Es sei ein Polynom der Form

gegeben. Zeige, dass für das zugehörige Nullstellengebilde  (wenn nicht alle sind, so ist das eine Quadrik) die folgenden drei Alternativen bestehen.

  1. besitzt mindestens einen Punkt.
  2. mit einer Konstanten .
  3. Es gibt eine Variablentransformation derart, dass das Polynom in den neuen Koordinaten die Gestalt mit einem Nichtquadrat besitzt.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine irreduzible, affin-algebraische Menge mit mindestens zwei Punkten und seien endlich viele Punkte darin. Zeige, dass dann auch (in der induzierten Topologie) irreduzibel ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein faktorieller Integritätsbereich mit Quotientenkörper . Zeige: Wenn keinen gemeinsamen Teiler besitzen, so besitzen sie aufgefasst in ebenfalls keinen gemeinsamen Teiler.

(Man darf sich auf Hauptidealbereiche beschränken.)

Aufgabe (3 Punkte)

Sei der Körper der rationalen Zahlen. Begründe, ob

irreduzibel ist oder nicht.

Tipp: Man verwende Aufgabe 1.25 und Korollar 4.9.



Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Projektion

offen in der Zariski-Topologie ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die affine Ebene mit der Zariski-Topologie kompakt ist.



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