Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 28/latex
\setcounter{section}{28}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass zu einer
\definitionsverweis {endlichen Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Menge
\mathdisp {{ \left\{ x \in K^{\times} \mid \betrag { \tau(x) } = 1 \text{ für alle Einbettungen } \tau \right\} }} { }
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
der Einheitengruppe von $K$ ist, die die
\definitionsverweis {Einheitswurzelgruppe}{}{}
\mathl{\mu_{ } { \left( K \right) }}{} umfasst, und dass die Einheitswurzelgruppe im Allgemeinen kleiner ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
mit ausschließlich
\definitionsverweis {reellen Einbettungen}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{}
und $L$ besitze keine reelle Einbettung.
Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} K^{\times} & \stackrel{ \tau^\R }{\longrightarrow} & { \left( \R^{\times} \right) }^r & \stackrel{ \ln \betrag { - } }{\longrightarrow} & \R^r & \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \cdot 2 \!\!\!\!\! & & \\ L^{\times} & \stackrel{ \tau^\R }{\longrightarrow} & { \left( {\mathbb C}^{\times} \right) } ^r & \stackrel{ 2 \ln \betrag { - } }{\longrightarrow} & \R^r &\!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
existiert, wobei die Abbildungen rechts komponentenweise zu verstehen sind und wobei die horizontalen Abbildungen die
\definitionsverweis {logarithmischen Gesamtabbildungen}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere die Situation in Lemma 28.6 für verschiedene \definitionsverweis {Zahlbereiche}{}{} von kleinem Grad.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Delta
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {diskrete}{}{}
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {beschränkte}{}{}
Teilmenge derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\bigcup_{ v \in \Delta } v+B
}
{ = }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Zeige, dass $\Delta$ ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Im Folgenden sind die Graphen zu normierten irreduziblen Polynomen $F$ vom Grad $4$ mit ganzzahligen Koeffizienten abgebildet. Es sei $R$ der
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
zur
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{K
}
{ = }{\Q[X]/(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme den
\definitionsverweis {Rang}{}{}
der
\definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
$R^{\times}$.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Polynomialdeg4.svg} }
\end{center}
\bildtext {a)} }
\bildlizenz { Polynomialdeg4.svg } {} {Geek3} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Courbe quatrième degré 04.png} }
\end{center}
\bildtext {b)} }
\bildlizenz { Courbe quatrième degré 04.png } {} {Lydienoria} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Courbe quatrième degré 10.png} }
\end{center}
\bildtext {c)} }
\bildlizenz { Courbe quatrième degré 10.png } {} {Lydienoria} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u,v
}
{ \in }{ R^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Einheiten}{}{}
und $a,b$ von $0$ verschiedene ganze Zahlen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u^a
}
{ = }{v^b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es ganze Zahlen $c,d$ und
\definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\zeta, \xi
}
{ \in }{ \mu_{ } { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine Einheit $w$ derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ = }{ \zeta w^c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{ \xi w^d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ \in }{ R^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{,}
die keine
\definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{}
sei. Zeige, dass man aus $u$ nur zu endlich vielen Exponenten Wurzeln ziehen kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ \in }{ R^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Teil eines Systems von
\definitionsverweis {Fundamentaleinheiten}{}{.}
Zeige, dass $u$ keinerlei
\definitionsverweis {Wurzel}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ \in }{ R^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass $\zeta u$, wobei $\zeta$ eine Einheitswurzel in $R$ bezeichnet, in $R$ keinerlei
\definitionsverweis {Wurzel}{}{}
besitze. Zeige, dass dann $u$ Teil eines Systems von
\definitionsverweis {Fundamentaleinheiten}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {reellen Einbettungen}{}{}
und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Es gelte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r+s
}
{ \geq }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine fixierte reelle Einbettung. Zeige, dass es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\delta
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Einheiten}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ < }{u
}
{ \leq }{1+ \delta
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ = }{ \Z[Y]/ { \left( Y^2 -6Y+1 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $p$ eine ungerade
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
derart, dass $Y^2-6Y+1$ in
\mathl{\Z/(p)[X]}{} irreduzibel ist. Zeige, dass $Y$ kein Erzeuger der multiplikativen Gruppe von
\mathl{\Z/(p)[Y]/ { \left( Y^2-6Y+1 \right) }}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{\Z[X]/(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
mit einem normierten ganzzahligen irreduziblen Polynom $F$. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert. Es sei $p$ eine Primzahl mit den folgenden Eigenschaften.
\aufzaehlungdrei{
\mathkor {} {n} {und} {p-1} {}
sind nicht teilerfremd.
}{ $F$ ist irreduzibel in $\Z/(p) [X]$.
}{Die Restklasse von $X$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{ \Z/(p) [X]/(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist ein Erzeuger der multiplikativen Gruppe $L^{\times}$
}
Zeige, dass dann $X$ in $R$ keine $n$-te Wurzel besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{\Z[X]/(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
mit einem normierten ganzzahligen irreduziblen Polynom $F$. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert. Es sei $p$ eine Primzahl derart, dass $p-1$ nicht teilerfremd zu $n$ sei. Es sei $L$ ein
\definitionsverweis {Restekörper}{}{}
des
\definitionsverweis {Faserringes}{}{}
$R/pR$ mit der Eigenschaft, dass die Restklasse von $X$ in $L$ ein Erzeuger der multiplikativen Gruppe $L^{\times}$ sei. Zeige, dass dann $X$ in $R$ keine $n$-te Wurzel besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ \Z[X]/ { \left( X^3-3X+1 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige mit
Aufgabe 28.13,
dass die Restklasse $x$ von $X$ in $R$ keine dritte Wurzel besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten das Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{X^3-3X+1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über $\Z/(7)$.
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass $F$ ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{}
in
\mathl{\Z/(7) [X]}{} ist.
}{Es sei $x$ die Restklasse von $X$ in $\Z/(7) [X]/ { \left( X^3-3X+1 \right) }$. Berechne $x^7$ und $x^{49}$.
}{Zeige, dass $x$ in $\Z/(7) [X]/ { \left( X^3-3X+1 \right) }$ eine dritte Wurzel besitzt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {kommutative Gruppen}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} {G} {H
} {}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass dies einen Homomorphismus
\maabbdisp {} { \operatorname{Tor} { \left( G \right) } } { \operatorname{Tor} { \left( H \right) }
} {}
zwischen den
\definitionsverweis {Torsionsuntergruppen}{}{}
und einen Homomorphismus
\maabbdisp {} {G/ \operatorname{Tor} { \left( G \right) } } { H/\operatorname{Tor} { \left( H \right) }
} {}
derart induziert, dass sich ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} 0 & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \operatorname{Tor} { \left( G \right) } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & G & \stackrel{ }{\longrightarrow} & G/ \operatorname{Tor} { \left( G \right) } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & 0 & \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & \\ 0 & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \operatorname{Tor} { \left( H \right) } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & H & \stackrel{ }{\longrightarrow} & H/ \operatorname{Tor} { \left( H \right) } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & 0 &\!\!\!\!\! \end{matrix}} { }
mit
\definitionsverweis {exakten}{}{}
Zeilen ergibt.
}{Sei $\varphi$
\definitionsverweis {injektiv}{}{.}
Zeige, dass dann auch die induzierten Homomorphismen aus (1) injektiv sein müssen.
}{Sei $\varphi$
\definitionsverweis {surjektiv}{}{.}
Müssen die induzierten Homomorphismen aus (1) surjektiv sein?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {R} {und} {S} {}
\definitionsverweis {Zahlbereiche}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} {R} {S
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.}
Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} 1 & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \mu_{ } { \left( R \right) } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & R^{\times} & \stackrel{ }{\longrightarrow} & R^{\times}/ \mu_{ } { \left( R \right) } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & 1 & \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & \\ 1 & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \mu_{ } { \left( S \right) } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & S^{\times} & \stackrel{ }{\longrightarrow} & S^{\times}/ \mu_{ } { \left( S \right) } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & 1 &\!\!\!\!\! \end{matrix}} { }
von
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{}
mit
\definitionsverweis {exakten}{}{}
Zeilen existiert, und dass die vertikalen Homomorphismen injektiv sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathkor {} {R} {und} {S} {}
\definitionsverweis {Zahlbereiche}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} {R} {S
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$d$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ \in }{ R^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{,}
die in $R^{\times} / \mu_{ } { \left( R \right) }$ keinerlei Wurzel besitze
\zusatzklammer {dazu ist äquivalent, dass $u$ Teil eines Systems von
\definitionsverweis {Fundamentaleinheiten}{}{}
ist} {} {.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u
}
{ =} {v^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $n$ ein Teiler von $d$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R_n$ der $n$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S_n
}
{ = }{R_n \cap \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
vergleiche
Aufgabe 17.5.
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{R_n^{\times}/ S_n^{\times}}{} endlich sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{,}
$R_p$ der $p$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S_p
}
{ = }{R_p \cap \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
vergleiche
Aufgabe 17.5.
Zeige, dass für die
\definitionsverweis {Einheitengruppen}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R_p^{\times}
}
{ =} { \mu_{ } { \left( R_p \right) } \cdot S_p^{\times}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. D.h. die Einheitengruppe wird von den Einheitswurzeln und den reellen Einheiten erzeugt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ \in }{ R^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Teil eines Systems von
\definitionsverweis {Fundamentaleinheiten}{}{}
von $R$. Zeige, dass es eine Erweiterung von Zahlbereichen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass $u$ in $S$ nicht zu einem System von Fundamentaleinheiten gehört.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe Beispiele für eine endliche
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit zugehörigem
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
$R$ derart, dass der natürliche
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { \operatorname{Gal}\, ( K {{|}} \Q ) } { \operatorname{Aut} \, ( R^{\times} )
} {}
\aufzaehlungvier{bijektiv,
}{injektiv und nicht surjektiv,
}{surjektiv und nicht injektiv,
}{weder injektiv noch surjektiv
}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
mit
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
$G$ und sei $R$ der zugehörige
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
mit $r$
\definitionsverweis {reellen Einbettungen}{}{}
und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Zeige, dass die Galoisgruppe in natürlicher Weise auf der Gruppe $\Z^{r+s-1}$ durch
\definitionsverweis {lineare Automorphismen}{}{}
wirkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {reell-quadratischer Zahlbereich}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Konjugation}{}{}
auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R^{\times} / \{ \pm 1\}
}
{ \cong} { \Z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als Negation wirkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
mit
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
$G$ und sei $R$ der zugehörige
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
mit $r$
\definitionsverweis {reellen Einbettungen}{}{}
und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Zeige, dass die Galoisgruppe in natürlicher Weise auf der Gruppe $\Z^{r+s-1}$ durch
\definitionsverweis {lineare Automorphismen}{}{}
wirkt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ \Z[X]/ { \left( X^3-3X+1 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es ist
\zusatzklammer {vergleiche
Beispiel 25.5} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Gal}\, ( R {{|}} \Z )
}
{ \cong} { \Z/(3)
}
{ =} { \langle \varphi \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R^{\times}/ \{\pm 1\}
}
{ \cong} { \Z^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Bestimme die Matrix, die die Wirkung von $\varphi$ auf $\Z^2$ beschreibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $A$ eine kommutative $R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Zeige, dass durch \maabbeledisp {} { A^{\times} } { \Omega_{ A {{|}} R } } {f} { { \frac{ df }{ f } } } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} von der \definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{} in den \definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{} definiert wird.
}
{} {}
Die vorstehende Abbildung heißt \stichwort {logarithmische Ableitung} {.}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beschreibe die \definitionsverweis {logarithmische Ableitung}{}{} explizit für die \definitionsverweis {imaginär-quadratischen Zahlbereiche}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} und $R_p$ der $p$-te \definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{.} Zeige, dass durch die \definitionsverweis {logarithmische Ableitung}{}{} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { \mu_{ } { \left( R_p \right) } } { \Omega_{ R_p {{|}} \Z } } {} gegeben ist, dessen \definitionsverweis {Kern}{}{} gleich $\{ \pm 1\}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
mit $r$ reellen und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
ein Element mit der Primidealzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f)
}
{ =} { {\mathfrak p}_1^{r_1} \cdots {\mathfrak p}_k^{r_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
$R_f^{\times}$ der
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
$R_f$
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zu
\mathl{\mu_{ } { \left( R \right) } \times \Z^{r+s+k-1}}{} ist.
}
{} {}