Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 28

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Aufgaben

Aufgabe

Zeige, dass zu einer endlichen Körpererweiterung die Menge

eine Untergruppe der Einheitengruppe von ist, die die Einheitswurzelgruppe umfasst, und dass die Einheitswurzelgruppe im Allgemeinen kleiner ist.


Aufgabe

Es sei eine endliche Körpererweiterung mit ausschließlich reellen Einbettungen. Es sei eine quadratische Körpererweiterung und besitze keine reelle Einbettung. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

existiert, wobei die Abbildungen rechts komponentenweise zu verstehen sind und wobei die horizontalen Abbildungen die logarithmischen Gesamtabbildungen sind.


Aufgabe

Skizziere die Situation in Lemma 28.6 für verschiedene Zahlbereiche von kleinem Grad.


Aufgabe

Es sei ein euklidischer Vektorraum, eine diskrete Untergruppe und eine beschränkte Teilmenge derart, dass ist. Zeige, dass ein Gitter ist.


Aufgabe

Im Folgenden sind die Graphen zu normierten irreduziblen Polynomen vom Grad mit ganzzahligen Koeffizienten abgebildet. Es sei der Zahlbereich zur Körpererweiterung . Bestimme den Rang der Einheitengruppe .

a)
b)
c)


Aufgabe *

Es sei ein Zahlbereich und es seien Einheiten und von verschiedene ganze Zahlen mit . Zeige, dass es ganze Zahlen und Einheitswurzeln und eine Einheit derart gibt, dass und gilt.


Aufgabe

Es sei ein Zahlbereich und eine Einheit, die keine Einheitswurzel sei. Zeige, dass man aus nur zu endlich vielen Exponenten Wurzeln ziehen kann.


Aufgabe

Es sei ein Zahlbereich und sei Teil eines Systems von Fundamentaleinheiten. Zeige, dass keinerlei Wurzel besitzt.


Aufgabe *

Es sei ein Zahlbereich und sei derart, dass , wobei eine Einheitswurzel in bezeichnet, in keinerlei Wurzel besitze. Zeige, dass dann Teil eines Systems von Fundamentaleinheiten ist.


Aufgabe

Es sei ein Zahlbereich mit reellen Einbettungen und Paaren von komplexen Einbettungen. Es gelte und es sei eine fixierte reelle Einbettung. Zeige, dass es zu jedem Einheiten mit gibt.


Aufgabe

Es sei und eine ungerade Primzahl derart, dass in irreduzibel ist. Zeige, dass kein Erzeuger der multiplikativen Gruppe von ist.


Aufgabe *

Es sei ein Zahlbereich mit einem normierten ganzzahligen irreduziblen Polynom . Sei fixiert. Es sei eine Primzahl mit den folgenden Eigenschaften.

  1. und sind nicht teilerfremd.
  2. ist irreduzibel in .
  3. Die Restklasse von in ist ein Erzeuger der multiplikativen Gruppe

Zeige, dass dann in keine -te Wurzel besitzt.


Aufgabe

Es sei ein Zahlbereich mit einem normierten ganzzahligen irreduziblen Polynom . Sei fixiert. Es sei eine Primzahl derart, dass nicht teilerfremd zu sei. Es sei ein Restekörper des Faserringes mit der Eigenschaft, dass die Restklasse von in ein Erzeuger der multiplikativen Gruppe sei. Zeige, dass dann in keine -te Wurzel besitzt.


Aufgabe *

Es sei . Zeige mit Aufgabe 28.13, dass die Restklasse von in keine dritte Wurzel besitzt.


Aufgabe *

Wir betrachten das Polynom über .

  1. Zeige, dass ein irreduzibles Polynom in ist.
  2. Es sei die Restklasse von in . Berechne und .
  3. Zeige, dass in eine dritte Wurzel besitzt.


Aufgabe

Es seien und kommutative Gruppen und sei ein Gruppenhomomorphismus.

  1. Zeige, dass dies einen Homomorphismus

    zwischen den Torsionsuntergruppen und einen Homomorphismus

    derart induziert, dass sich ein kommutatives Diagramm

    mit exakten Zeilen ergibt.

  2. Sei injektiv. Zeige, dass dann auch die induzierten Homomorphismen aus (1) injektiv sein müssen.
  3. Sei surjektiv. Müssen die induzierten Homomorphismen aus (1) surjektiv sein?


Aufgabe

Es seien und Zahlbereiche und sei ein Ringhomomorphismus. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

von Gruppenhomomorphismen mit exakten Zeilen existiert, und dass die vertikalen Homomorphismen injektiv sind.


Aufgabe *

Es seien und Zahlbereiche und sei ein Ringhomomorphismus vom Grad . Es sei eine Einheit, die in keinerlei Wurzel besitze (dazu ist äquivalent, dass Teil eines Systems von Fundamentaleinheiten ist). Es sei mit

Zeige, dass ein Teiler von ist.


Aufgabe

Es sei der -te Kreisteilungsring und , vergleiche Aufgabe 17.5. Zeige, dass die Restklassengruppe endlich sind.


Aufgabe *

Es sei eine Primzahl, der -te Kreisteilungsring und , vergleiche Aufgabe 17.5. Zeige, dass für die Einheitengruppen die Beziehung

gilt. D.h. die Einheitengruppe wird von den Einheitswurzeln und den reellen Einheiten erzeugt.


Aufgabe

Es sei ein Zahlbereich und sei Teil eines Systems von Fundamentaleinheiten von . Zeige, dass es eine Erweiterung von Zahlbereichen derart gibt, dass in nicht zu einem System von Fundamentaleinheiten gehört.


Aufgabe *

Man gebe Beispiele für eine endliche Galoiserweiterung mit zugehörigem Zahlbereich derart, dass der natürliche Gruppenhomomorphismus

  1. bijektiv,
  2. injektiv und nicht surjektiv,
  3. surjektiv und nicht injektiv,
  4. weder injektiv noch surjektiv

ist.


Aufgabe

Es sei eine endliche Körpererweiterung mit Galoisgruppe und sei der zugehörige Zahlbereich mit reellen Einbettungen und Paaren von komplexen Einbettungen. Zeige, dass die Galoisgruppe in natürlicher Weise auf der Gruppe durch lineare Automorphismen wirkt.


Aufgabe

Es sei ein reell-quadratischer Zahlbereich. Zeige, dass die Konjugation auf

als Negation wirkt.


Aufgabe

Es sei eine endliche Körpererweiterung mit Galoisgruppe und sei der zugehörige Zahlbereich mit reellen Einbettungen und Paaren von komplexen Einbettungen. Zeige, dass die Galoisgruppe in natürlicher Weise auf der Gruppe durch lineare Automorphismen wirkt.


Aufgabe *

Wir betrachten den Zahlbereich . Es ist (vergleiche Beispiel 25.5)

und

Bestimme die Matrix, die die Wirkung von auf beschreibt.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und eine kommutative -Algebra. Zeige, dass durch

ein Gruppenhomomorphismus von der Einheitengruppe in den Modul der Kähler-Differentiale definiert wird.


Die vorstehende Abbildung heißt logarithmische Ableitung.

Aufgabe *


Aufgabe *

Es sei eine Primzahl und der -te Kreisteilungsring. Zeige, dass durch die logarithmische Ableitung ein Gruppenhomomorphismus

gegeben ist, dessen Kern gleich ist.


Aufgabe *

Es sei ein Zahlbereich mit reellen und Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei , , ein Element mit der Primidealzerlegung

Zeige, dass die Einheitengruppe der Nenneraufnahme isomorph zu ist.



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