Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 6/latex
\setcounter{section}{6}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Finde eine
\definitionsverweis {irreduzible}{}{}
\definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{}
\zusatzklammer {über $\Z$} {} {}
für die
\definitionsverweis {Eisensteinzahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ { \frac{ -1+\sqrt{-3} }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $A$ eine
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
Zeige, dass wenn $R$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
ist, die Begriffe
\definitionsverweis {algebraisch}{}{}
und
\definitionsverweis {ganz}{}{}
für ein Element
\mathl{x \in A}{} übereinstimmen. Zeige ferner, dass für einen
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{,}
der kein Körper ist, diese beiden Begriffe auseinander fallen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien $R$ und $S$
\definitionsverweis {Integritätsbereiche}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {ganze Ringerweiterung}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element, das in $S$ eine Einheit ist. Zeige, dass $f$ dann schon in $R$ eine Einheit ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R \subseteq S$ eine ganze Ringerweiterung und sei $f \in R$. Zeige: Wenn $f$, aufgefasst in $S$, eine Einheit ist, dann ist $f$ eine Einheit in $R$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer
\definitionsverweis {ganzen Ringerweiterung}{}{}
\mathl{R \subseteq S}{,} wo es einen
\definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{}
\mathl{f \in R}{} gibt, der ein Nullteiler in $S$ wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne in
\mathdisp {\Z/(7)[X]/(X^3+4X^2+X+5)} { }
das Produkt
\mathdisp {(2x^2+5x+3) \cdot (3x^2+x+6)} { }
\zusatzklammer {$x$ bezeichne die Restklasse von $X$} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $A$ eine \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Zeige direkt \zusatzklammer {ohne Lemma 6.7} {} {,} dass $A$ \definitionsverweis {ganz}{}{} über $K$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Ringerweiterung}{}{}
zwischen
\definitionsverweis {endlichen}{}{}
\definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{}
\mathkor {} {R} {und} {S} {.}
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {ganze Ringerweiterung}{}{}
vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ =} {R[X_1 , \ldots , X_n]/{\mathfrak a}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\zusatzklammer {als Algebra} {} {}
\definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{,}
die
\definitionsverweis {ganz}{}{}
über $R$ sei. Zeige, dass $S$ ein
\definitionsverweis {endlich erzeugter}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {ganze Erweiterung}{}{}
von
\definitionsverweis {Integritätsbereichen}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Zeige, dass dann auch die zugehörige Erweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_F
}
{ \subseteq }{S_F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ganz ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\aufzaehlungzwei {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.}
Zeige, dass $R$
\definitionsverweis {ganz-abgeschlossen}{}{}
im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{R[X]}{} ist.
} {Man gebe ein Beispiel für einen kommutativen Ring $R$, der im Polynomring nicht ganz-abgeschossen ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass $R$ genau dann \definitionsverweis {normal}{}{} ist, wenn er mit seiner \definitionsverweis {Normalisierung}{}{} übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Es sei angenommen, dass die \definitionsverweis {Normalisierung}{}{} von $R$ gleich dem \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $Q(R)$ ist. Zeige, dass dann $R$ selbst schon ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Zeige, dass dann auch die
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
$R_S$ normal ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein Körper und sei \mathind { R_i \subseteq K } { i \in I }{,} eine Familie von \definitionsverweis {normalen}{}{} Unterringen. Zeige, dass auch der Durchschnitt $\bigcap_{i \in I} R_i$ normal ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{$R$ ist \definitionsverweis {normal}{}{.} }{Für jedes \definitionsverweis {Primideal}{}{} ${\mathfrak p}$ ist die \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{} $R_{\mathfrak p}$ normal. }{Für jedes \definitionsverweis {maximale Ideal}{}{} ${\mathfrak m}$ ist die Lokalisierung $R_{\mathfrak m}$ normal.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{}
und
\mathl{a \in R}{.} Es sei vorausgesetzt, dass $a$ keine Quadratwurzel in $R$ besitzt. Zeige, dass das Polynom
\mathl{X^2-a}{}
\definitionsverweis {prim}{}{}
in $R[X]$ ist. Tipp: Verwende den
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
$Q(R)$. Warnung: Prim muss hier nicht zu
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
äquivalent sein.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Normalisierung}{}{}
$R^{\operatorname{norm} }$. Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f}
}
{ =} {{ \left\{ g \in R \mid gR^{\operatorname{norm} } \subseteq R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$ gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $k$ eine fixierte positive ganze Zahl und betrachte den Unterring
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} {\Z[ k { \mathrm i} ]
}
{ =} {{ \left\{ a+ck{ \mathrm i} \mid a,c \in \Z \right\} }
}
{ \subseteq} { \Z[{ \mathrm i}]
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige die Isomorphie
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \cong }{\Z[X]/(X^2+k^2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und dass $\Z[{ \mathrm i}]$
\definitionsverweis {ganz}{}{}
über $R$ ist.
}
{} {}
In den folgenden Aufgaben wird der Polynomring
\mathl{K[X,Y]}{} in zwei Variablen über einem Körper $K$ verwendet. Diesen kann man definieren als
\mathl{(K[X])[Y]}{.} Die Elemente in ihm, also die Polynome in zwei Variablen, haben die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { \sum_{i,j} a_{ij}X^{i}Y^{j}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir interessieren uns für Restklassenringe vom Typ
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{K[X,Y]/(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Nullstellenmenge von$F$ besteht aus der Menge derjenigen Punkte
\mathl{(x,y)}{} in der Ebene, für die
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(x,y)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\zusatzklammer {dieses Nullstellengebilde ist eine geometrische Version des Ringes $R$} {} {.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und betrachte den
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R
}
{ =} { K[X,Y]/(X^2-Y^3)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
nach
Aufgabe 6.17.
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Normalisierung}{}{}
von $R$ gleich dem Polynomring
\mathl{K[T]}{} ist. Skizziere die Nullstellenmenge von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ = }{ X^2-Y^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in der reellen Ebene und finde eine Parametrisierung dieses Gebildes.
}
{} {}
Polynomringe kann man entsprechend über jedem Grundring und mit beliebig vielen Variablen definieren.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {X^ 2-3X+7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q
}
{ =} {Y^3-Y^2+4Y-5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Begründe, dass die Ringerweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Z
}
{ \subseteq} { \Z[X,Y]/(P,Q)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {ganz}{}{}
ist und finde eine
\definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{}
für
\mathl{x+y}{} und für $xy$
\zusatzklammer {kleine Buchstaben bezeichnen die Restklassen der Variablen} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {ganze Ringerweiterung}{}{.}
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für das von $f$ erzeugte
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
gilt:
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R \cap (f)S
}
{ =} { (f)R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für natürliche Zahlen
\mathl{a,b \geq 1}{} und
\mathl{n \geq 2}{} die Zahl
\mathl{a^ n - b ^n}{} nicht ein Teiler von
\mathl{a^ n + b ^n}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{R,S,T}{}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{Fakt}{}
und seien
\mathl{\varphi:R \rightarrow S}{} und
\mathl{\psi:S \rightarrow T}{} Ringhomomorphismen derart, dass $S$
\definitionsverweis {ganz}{}{} über $R$ und $T$ ganz über $S$ ist. Zeige, dass dann auch $T$ ganz über $R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und betrachte den
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} {R = K[X,Y]} { K[T]
} {,}
der durch die Einsetzung
\mathdisp {X \longmapsto (T-1)(T+1) \text{ und }Y \longmapsto T(T-1)(T+1)} { }
gegeben ist. Finde ein von $0$ verschiedenes Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass $F$ unter $\varphi$ auf $0$ abgebildet wird. Skizziere die
\definitionsverweis {Nullstellenmenge}{}{}
von $F$ in der reellen Ebene.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Definiere unter Anlehnung an die
Parametrisierung der pythagoreischen Tripel einen
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\mathdisp {\Z[X,Y,Z]/(X^2+Y^2-Z^2) \longrightarrow \Z[U,V]} { . }
Zeige, dass dieser injektiv, aber nicht surjektiv ist.
}
{} {}