Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Definitionsabfrage
Ein Element in einem
kommutativen Ring
heißt Einheit , wenn es ein Element
mit
gibt.
Zu einem Polynom
heißt
eine
diophantische Gleichung.
Unter einer Lösung einer diophantischen Gleichung versteht man ein ganzzahliges Zahlentupel
,
das in
eingesetzt
ergibt.
Ein
kommutativer,
nullteilerfreier,
von verschiedener
Ring
heißt Integritätsbereich.
Es sei ein
kommutativer Ring,
und
Elemente in
. Man sagt, dass
das Element
teilt
(oder dass
von
geteilt wird, oder dass
ein Vielfaches von
ist),
wenn es ein
derart gibt, dass
ist. Man schreibt dafür auch
.
Es sei ein
kommutativer Ring.
Man sagt, dass zwei Elemente
teilerfremd sind, wenn jedes Element
,
das sowohl
als auch
teilt,
eine
Einheit
ist.
Eine
Nichteinheit
in einem
kommutativen Ring
heißt irreduzibel
(oder unzerlegbar),
wenn eine Faktorisierung
nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.
Eine
Nichteinheit
in einem
kommutativen Ring
heißt prim
(oder ein Primelement),
wenn folgendes gilt: Teilt
ein Produkt
mit
,
so teilt
einen der Faktoren.
Ein Integritätsbereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealbereich.
Ein
Integritätsbereich
heißt faktorieller Bereich, wenn jede
Nichteinheit
sich als ein Produkt von
Primelementen
schreiben lässt.
Ein
Ideal
in einem
kommutativen Ring
heißt Primideal, wenn
ist und wenn für
mit
folgt:
oder
.
Ein
Ideal
in einem
kommutativen Ring
heißt maximales Ideal, wenn
ist und wenn es zwischen
und
keine weiteren Ideale gibt.
Zu einem
kommutativen Ring nennt man die Menge der
Primideale von
das
Spektrum von
, geschrieben
Auf dem
Spektrum
eines
kommutativen Ringes
ist die
Zariski-Topologie
dadurch gegeben, dass zu einer beliebigen Teilmenge
die Mengen
als offen erklärt werden.
Es sei ein
kommutativer Ring.
Eine Teilmenge
heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften
,
- Wenn
, dann ist auch
,
gelten.
Es sei ein
kommutativer Ring
und
ein
multiplikatives System.
Auf der
Produktmenge
nennt man die durch
falls es ein
mit
gibt, die durch das multiplikative System gegebene
Überkreuzrelation.
Es sei ein
kommutativer Ring
und
ein
multiplikatives System.
Dann versteht man unter der
Nenneraufnahme
zu
die
Quotientenmenge
zur
Überkreuzrelation
auf
mit den in
Lemma 4.8
beschriebenen Verknüpfungen. Die Nenneraufnahme wird mit
bezeichnet.
Zu einem
Integritätsbereich
ist der Quotientenkörper
als die Menge der formalen Brüche
mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.
Ein
kommutativer Ring
heißt lokal, wenn
genau ein
maximales Ideal
besitzt.
Zu einem kommutativen
lokalen Ring
nennt man den
Restklassenkörper
zum einzigen
maximalen Ideal
von
den
Restekörper
von
.
Es sei ein
kommutativer Ring
und sei
ein
Primideal.
Dann nennt man die
Nenneraufnahme
an
die Lokalisierung von
an
. Man schreibt dafür
. Es ist also
Zu einem
Ringhomomorphismus
zwischen
kommutativen Ringen
und einem
Primideal
nennt man
den
Faserring
über
.
Es seien
und
kommutative Ringe
und sei
ein fixierter
Ringhomomorphismus.
Dann nennt man
eine
-Algebra.
Es sei ein
Körper
und
ein
Unterkörper
von
. Dann heißt
ein Erweiterungskörper
(oder Oberkörper)
von
und die Inklusion
heißt eine Körpererweiterung.
Eine
Körpererweiterung
heißt endlich, wenn
ein
endlichdimensionaler Vektorraum
über
ist.
Es sei
eine
endliche Körpererweiterung.
Dann nennt man die
-
Vektorraumdimension
von
den Grad der Körpererweiterung.
Es sei ein
Körper
und
eine kommutative
-
Algebra.
Es sei
ein Element. Dann heißt
algebraisch über
, wenn es ein von
verschiedenes Polynom
mit
gibt.
Es sei ein
Körper
und
eine
-
Algebra.
Es sei
ein über
algebraisches Element.
Dann heißt das
normierte Polynom
mit
,
welches von minimalem
Grad
mit dieser Eigenschaft ist, das Minimalpolynom von
.
Es sei
eine Körpererweiterung. Dann nennt man die
Automorphismengruppe
die Galoisgruppe der Körpererweiterung.
Es sei
eine
endliche Körpererweiterung. Sie heißt eine Galoiserweiterung, wenn
gilt.
Es sei ein
kommutativer Ring,
der einen
Körper
der positiven
Charakteristik
enthalte. Der Frobeniushomomorphismus ist der
Ringhomomorphismus
Es seien
und
kommutative Ringe
und sei
eine Ringerweiterung. Für ein Element
heißt eine Gleichung der Form
wobei die Koeffizienten , zu
gehören, eine Ganzheitsgleichung für
.
Es seien
und
kommutative Ringe
und
eine Ringerweiterung. Ein Element
heißt ganz
(über
),
wenn
eine
Ganzheitsgleichung
mit Koeffizienten aus
erfüllt.
Es seien
und
kommutative Ringe
und
eine Ringerweiterung. Dann nennt man die Menge der Elemente
,
die
ganz
über
sind, den ganzen Abschluss von
in
.
Es seien
und
kommutative Ringe
und sei
eine Ringerweiterung. Dann heißt
ganz über
, wenn jedes Element
ganz
über
ist.
Es seien und
kommutative Ringe
und
eine
Ringerweiterung.
Man nennt
ganz-abgeschlossen in
, wenn der
ganze Abschluss
von
in
gleich
ist.
Ein Integritätsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.
Es sei ein
Integritätsbereich
und
sein
Quotientenkörper.
Dann nennt man den
ganzen Abschluss
von
in
die Normalisierung von
.
Es sei
eine
endliche Körpererweiterung.
Dann nennt man den
ganzen Abschluss
von
in
den Ring der ganzen Zahlen in
. Solche Ringe nennt man auch Zahlbereiche.
Es sei ein
kommutativer Ring
und sei
eine kommutative
endliche
freie
-
Algebra.
Zu einem Element
nennt man die
Spur
des
-
Modulhomomorphismus
die Spur von . Sie wird mit
bezeichnet.
Es sei ein
kommutativer Ring
und sei
eine kommutative
endliche
freie
-
Algebra.
Zu einem Element
nennt man die
Determinante
des
-
Modulhomomorphismus
die Norm von . Sie wird mit
bezeichnet.
Es sei
eine
endliche Körpererweiterung
vom
Grad
und seien
Elemente in
. Dann wird die Diskriminante von
durch
definiert.
Es sei der
Zahlbereich
zur
endlichen Körpererweiterung
.
Dann nennt man die
Diskriminante
einer
Ganzheitsbasis
von
die Diskriminante von
(und die Diskriminante von
).
Es sei ein
Zahlbereich
vom
Grad
und
die
komplexe Gesamteinbettung.
Es sei eine
Ganzheitsbasis
von
. Dann nennt man die komplexe
-
Matrix
die komplexe Ganzheitsmatrix (zu dieser Basis).
Ein quadratischer Zahlbereich ist der
Ring der ganzen Zahlen
in einem
Erweiterungskörper
von vom
Grad
.
Es sei
quadratfrei
und sei
der zugehörige
quadratische Zahlbereich.
Dann heißt
reell-quadratisch, wenn
positiv ist, und imaginär-quadratisch, wenn
negativ ist.
Es sei
eine
quadratfreie
Zahl und sei
die zugehörige quadratische
Körpererweiterung
und
der zugehörige
quadratische Zahlbereich.
Dann wird der Automorphismus
(auf
, auf
und auf
)
als Konjugation bezeichnet.
Ein
kommutativer Ring
heißt noethersch, wenn jedes
Ideal
darin
endlich erzeugt
ist.
Einen
Integritätsbereich
nennt man einen Dedekindbereich, wenn er
noethersch
und
normal
ist und wenn jedes von
verschiedene
Primideal
darin
maximal
ist.
Zu einem
Ideal
in einem
Zahlbereich
heißt die
(endliche)
Anzahl des
Restklassenringes
die Norm von
. Sie wird mit
bezeichnet.
Ein diskreter Bewertungsring ist ein
Hauptidealbereich
mit der Eigenschaft, dass es bis auf
Assoziiertheit
genau ein
Primelement
in
gibt.
Zu einem Element , in einem
diskreten Bewertungsring
mit
Primelement
heißt die Zahl
mit der Eigenschaft
,
wobei
eine
Einheit
bezeichnet, die Ordnung von
. Sie wird mit
bezeichnet.
Es sei ein
Dedekindbereich,
ein
Primideal
in
und
,
.
Dann heißt die
Ordnung
im
diskreten Bewertungsring
die Ordnung von
am Primideal
(oder an der Primstelle
oder in
).
Sie wird mit
bezeichnet.
Es sei ein
Dedekindbereich
und
,
.
Dann heißt die Abbildung, die jedem
Primideal
in
die
Ordnung
zuordnet, der durch
definierte Hauptdivisor. Er wird mit
bezeichnet und als formale Summe
geschrieben.
Es sei ein
Dedekindbereich.
Ein effektiver Divisor ist eine formale Summe
die sich über alle
Primideale
aus
erstreckt und wobei
natürliche Zahlen sind mit
für fast alle
.
Es sei ein
Dedekindbereich
und
ein von
verschiedenes
Ideal
in
. Dann nennt man den
Divisor
mit
den Divisor zum Ideal .
Es sei ein
Dedekindbereich
und
ein
effektiver Divisor
(wobei durch die Menge der Primideale
läuft).
Dann nennt man
das Ideal zum Divisor . Es wird mit
bezeichnet.
Es seien
kommutative Ringe.
Dann heißt das Produkt
versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der
,
.
Ein Element eines
kommutativen Ringes
heißt idempotent, wenn
gilt.
Es sei ein
Dedekindbereich.
Ein Divisor ist eine formale Summe
die sich über alle
Primideale
aus
erstreckt und wobei
ganze Zahlen mit
für fast alle
sind.
Es sei ein
Dedekindbereich
und
,
.
Dann heißt die Abbildung, die jedem
Primideal
in
die
Ordnung
zuordnet, der durch
definierte Hauptdivisor. Er wird mit
bezeichnet und als formale Summe
geschrieben.
Es sei ein
Dedekindbereich
mit
Quotientenkörper
. Dann nennt man einen
endlich erzeugten
-
Untermodul
des
-
Moduls
ein gebrochenes Ideal.
Es sei ein
Dedekindbereich
mit
Quotientenkörper
. Dann nennt man ein
gebrochenes Ideal
der Form
mit
ein gebrochenes Hauptideal.
Es sei ein
Dedekindbereich
mit
Quotientenkörper
. Dann definiert man für
gebrochene Ideale
und
das Produkt
als den von allen Produkten erzeugten
-Untermodul von
, also
wobei die Produkte in zu nehmen sind.
Es sei ein
Dedekindbereich
und
ein
Divisor
(wobei durch die Menge der Primideale
läuft).
Dann nennt man
das gebrochene Ideal zum Divisor . Es wird mit
bezeichnet.
Es sei ein
Dedekindbereich
und
ein von
verschiedenes
gebrochenes Ideal.
Dann nennt man den
Divisor
mit
den Divisor zum gebrochenen Ideal .
Es sei ein
Dedekindbereich.
Es sei
die Gruppe der
Divisoren
und
sei die Untergruppe der
Hauptdivisoren.
Dann nennt man die
Restklassengruppe
die Divisorenklassengruppe von .
Eine
-
Algebra
über einem
kommutativen Ring
heißt
monogen,
wenn sie als
mit einem
Ideal
geschrieben werden kann.
Der -te Kreisteilungskörper ist der
Zerfällungskörper
des Polynoms
über .
Zu einer natürlichen Zahl bezeichnet
die Anzahl der Elemente von
. Man nennt
die Eulersche Funktion.
Es sei
und seien
die
primitiven
komplexen Einheitswurzeln. Dann heißt das Polynom
das -te Kreisteilungspolynom.
Es sei
.
Der
Ring der ganzen Zahlen
im
-ten
Kreisteilungskörper
heißt
-ter
Kreisteilungsring.
Zu einem injektiven
Ringhomomorphismus
zwischen
diskreten Bewertungsringen
nennt man die
Ordnung
einer
Ortsuniformisierenden
von
in
die
Verzweigungsindex
der Erweiterung.
Ein injektiver
Ringhomomorphismus
zwischen
diskreten Bewertungsringen
heißt
verzweigt,
wenn seine
Verzweigungsordnung
ist.
Es sei ein
kommutativer Ring
und
eine
kommutative
-
Algebra.
Der von allen Symbolen
,
,
erzeugte
-
Modul,
modulo den Identifizierungen
und
heißt Modul der Kähler-Differentiale
von über
. Er wird mit
bezeichnet.
Es sei
eine
endliche Erweiterung
von kommutativen Ringen, sei
ein
Primideal
von
und
ein Primideal von
über
. Dann nennt man den
Grad
der Erweiterung der
Restekörper
den
Trägheitsgrad
von
über
.
Es sei ein
Dedekindbereich
mit
Quotientenkörper
,
eine
Körpererweiterung
vom
Grad
und
der
ganze Abschluss
von
in
. Ein von
verschiedenes
Primideal
von
heißt
voll zerlegt
in
, wenn es
Primideale in
oberhalb von
gibt.
Es sei ein
Dedekindbereich
mit
Quotientenkörper
,
eine
Körpererweiterung
vom
Grad
und
der
ganze Abschluss
von
in
. Ein von
verschiedenes
Primideal
von
heißt
unzerlegt
in
, wenn es genau ein Primideal in
oberhalb von
gibt.
Es sei eine
Gruppe,
die auf einem
kommutativen Ring
als Gruppe von
Ringautomorphismen operiert
(von rechts).
Dann bezeichnet man
als den
Invariantenring
(oder
Fixring)
von unter der Operation von
.
Es sei eine
Dedekindbereich
mit
Quotientenkörper
und sei
eine
endliche Galoiserweiterung
mit
Galoisgruppe
. Es sei
der
ganze Abschluss
von
in
und sei
ein
Primideal
von
. Dann nennt man
die
Zerlegungsgruppe
zu .
Es sei eine
Dedekindbereich
mit
Quotientenkörper
und sei
eine
endliche Galoiserweiterung
mit
Galoisgruppe
. Es sei
der
ganze Abschluss
von
in
und sei
ein
Primideal
von
. Dann nennt man den
Fixkörper
zur
Zerlegungsgruppe
den
Zerlegungskörper
zu
. Er wird mit
bezeichnet.
Es sei eine
Dedekindbereich
mit
Quotientenkörper
und sei
eine
endliche Galoiserweiterung
mit
Galoisgruppe
. Es sei
der
ganze Abschluss
von
in
und sei
ein
Primideal
von
. Dann nennt man
die
Trägheitsgruppe
zu .
Es sei eine
Dedekindbereich
mit
Quotientenkörper
und sei
eine
endliche Galoiserweiterung
mit
Galoisgruppe
. Es sei
der
ganze Abschluss
von
in
und sei
ein
Primideal
von
. Dann nennt man den
Fixkörper
zur
Trägheitsgruppe
den
Trägheitskörper
zu
. Er wird mit
bezeichnet.
Für eine ungerade
Primzahl
und eine zu
teilerfremde
Zahl
definiert man das Legendre-Symbol, geschrieben
(sprich „
nach
“),
durch
Es sei eine ungerade
Primzahl
und
die erste
primitive
komplexe Einheitswurzel.
Dann nennt man
die (erste) quadratische Gaußsumme.
Es seien
linear unabhängige
Vektoren im
. Dann heißt die
Untergruppe
ein Gitter im
.
Eine Teilmenge
heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten
auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form
ebenfalls zu gehört.
Zu einer Teilmenge
heißt die kleinste
konvexe Teilmenge
, die
umfasst, die konvexe Hülle von
.
Zu einem durch
linear unabhängige
Vektoren gegebenen
Gitter
bezeichnet man die
konvexe Hülle
der Vektoren
mit
als die Grundmasche
(oder Fundamentalmasche)
des Gitters.
Eine Teilmenge
heißt zentralsymmetrisch, wenn mit jedem Punkt
auch der Punkt
zu
gehört.
Ein
topologischer Raum
heißt kompakt
(oder überdeckungskompakt),
wenn es zu jeder offenen Überdeckung
eine endliche Teilmenge
derart gibt, dass
ist.
Es sei ein
Zahlbereich
vom
Grad
mit
reellen Einbettungen und
Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei
die reelle Gesamteinbettung. Es sei eine
Ganzheitsbasis
von
. Dann nennt man die reelle
-
Matrix
die reelle Ganzheitsmatrix (zu dieser Basis).
Es sei ein
Zahlbereich.
Dann nennt man die Anzahl der Elemente in der
Klassengruppe
von
die Klassenzahl von
.
Eine Familie von
Einheiten
in einem
Zahlbereich
heißt ein System von
Fundamentaleinheiten,
wenn man jede Einheit
von
in eindeutiger Weise als
mit einer
Einheitswurzel
und ganzzahligen Exponenten
schreiben kann.
Es sei ein
Zahlbereich
mit
reellen Einbettungen und
Paaren von komplexen Einbettungen und es sei
ein System von
Fundamentaleinheiten.
Dann nennt man den
Betrag
der
Determinante
der reellen
-
Matrix
wobei
die
logarithmische Gesamtabbildung
bezeichnet, den
Regulator
von
. Er wird mit
bezeichnet.